Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. SannsynChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Binomisk sannsynsmodell

Tenk deg at du får ei matematikkprøve med fire oppgåver. Kvar oppgåve har fire svaralternativ, og du skal krysse av for rett svaralternativ.

Flervalgsprøve

Du er ikkje førebudd, og alle svaralternativa verkar like sannsynlege. Vi reknar med uavhengnad. Det vil seie at kva du svarar på ei oppgåve, ikkje påverkar svaret ditt på den neste.

Du kryssar av helt tilfeldig. Sannsynet for å svare rett på ei oppgåve er då 14, og sannsynet for å svare gale er 34.

Kva er sannsynet for å få null, eitt, to, tre og fire rette svar?

Det er berre éin måte du kan få fire rette svar på. Vi lar R tyde at eit svar er rett og G tyde at svaret er gale.

PRRRR = P(R1R2R3R4)=P(R1)·P(R2)·P(R3)·P(R4)=14·14·14·14=144

Det er også berre éin måte du kan få null rette svar på. (Her er ikkje all utrekninga teke med.)

PGGGG=34·34·34·34=344

Men, kor mange måtar kan du få to rette svar på?

Sannsynet for å svare rett på dei to første oppgåvene (og gale på dei to neste) er

PRRGG=14·14·34·34=142·342

Men, det er fleire måtar å få to rette svar på. Du kan til dømes svare rett på dei to siste oppgåvene GGRR, på første og siste oppgåve RGGR osb.

For å telje opp talet på måtar kan du lage eit valtre. Vi startar øvst på midten. For den første oppgåva teiknar vi to strekar på skrå nedover i kvar si retning. Den eine streken er for riktig svar, den andre for feil svar – altså éin strek for kvart val. Vi skriv også på sannsynet for kvart einskilt val ved sida av valet.

Frå enden på kvar av desse to vala teiknar vi to nye strekar for den andre oppgåva, for riktig og for feil svar. Slik vil talet på strekar doble seg for kvar ny oppgåve, og vi får ein trestruktur. Etter fire oppgåver vil vi ha  24=16  greiner på valtreet.

Valgtre som viser de ulike måtene

Valtreet ovanfor viser kor mange måtar du kan få null, eitt, to, tre og fire rette svar på. Vi tel opp og samlar resultata i ein tabell.

Tal på rette

0

1

2

3

4

Tal på måtar

1

4

6

4

1

Tal på måtar

40

41

42

43

44

Legg merke til at dette er fjerde rad i Pascal sin trekant.

At binomialkoeffisientane dukkar opp her er ikkje så underleg. Å finne talet på måtar å få to rette svar på er det same som å finne talet på måtar vi kan velje to plassar av fireder det skal stå R.

Dette blir same problemstilling som å rekne ut kor mange måtar vi kan velje ut 11 spelarar frå ein spelarstall på 20, 7 av 34 tall på ein lottokupong osb.

På sida Tre ulike typar utval kan du sjå at vi kan bruke binomialkoeffisientar for å rekne ut talet på kombinasjonar ved denne typen utval. Vi får altså at

PTo rette svar=42·142·342

På same måte vil då

PTre rette svar=43·143·341

Det gjeld heilt generelt. Vi går ut ifrå at vi har ei prøve med n oppgåver som det blir svara på heilt uavhengig av kvarandre. For kvar oppgåve er det to moglegskapar, anten svarar vi rett eller så svarar vi gale.

Sannsynet for å svare rett er lik heile tida. Vi kan kalle dette sannsynet for p.

Då blir sannsynet for å svare gale på ei oppgåve lik 1-p , og vi får at

Pk rette svar=nk·pk·1-pn-k

Samansette forsøk som til dømes å svare på fleirvalsprøva ovanfor kallar vi binomiske forsøk. Nedanfor finn du ei oppsummering som viser kva som kjenneteiknar binomiske forsøk.

Binomisk forsøk og binomisk sannsyn

I eit binomisk forsøk har vi n delforsøk.

Døme: Svare på fire oppgåver, n=4

  • Alle delforsøka har to moglege utfall, A eller A¯ ("ikkje A", altså det motsette av A).
    Døme: Rett eller gale svar på ei oppgåve
  • Sannsynet for A er den same heile tida. Vi set  p=PA. Då er  PA¯=1-p.
    I dømet vårt:  PRett svar=14  og  PGale svar=1-14=34
  • Dei enkelte delforsøka er uavhengige.

La X vere talet på gonger utfallet A inntreffer.

Sannsynet for at A skal inntreffe k gonger er då gitt ved:

PX=k=nk·pk·1-pn-k

nk, «n over k», er ein binomialkoeffisient .

Døme: Sannsynet for å svare rett på to av fire oppgåver når kvar oppgåve har fire svaralternativ er

PTo rette svar=42·142·342

Dersom det på del 1 på eksamen i matematikk S1 blir bruk for formelen for binomisk sannsyn, blir han oppgitt i eksamensoppgåva.

Terning

Å kaste ein terning eit bestemt tal gonger og sjå om vi får seksar eller ikkje på kvart enkelt kast, er eit anna døme på eit binomisk forsøk. Vi kan bruke formelen ovanfor til å rekne ut sannsynet for å få eit bestemt tal seksarar.

Ei krone. Foto

Å kaste ein mynt eit bestemt tal gonger og sjå om vi får «kron» eller «mynt» på kvart enkelt kast, er et også eit døme på eit binomisk forsøk. Vi kan bruke formelen ovanfor til å rekne ut sannsynet for å få eit bestemt tal «kron».

Vi kan bruke sannsynskalkulatoren i GeoGebra for å rekne ut binomisk sannsyn.

Ein fleirvalsprøve har fem oppgåver med fire svaralternativ på kvar oppgåve. Du svarar på fleirvalsprøven med rein gjetting.
Du skal finne sannsynet for å svare riktig på akkurat éi av oppgåvene. Du vel «Binomisk fordeling» og fyller inn som vist under.

Binomisk fordeling Geogebra
Skjermbilete frå GeoGebra: Sannsynet er 0,3955.

Så vil du finne sannsynet for å få meir enn to rette svar.

Binomisk fordeling GeoGebra
Skjermbilete frå GeoGebra: Sannsynet er 0,1035.

Læringsressursar

Sannsyn