Du er ikkje førebudd, og alle svaralternativa verkar like sannsynlege. Vi reknar med uavhengnad. Det vil seie at kva du svarar på ei oppgåve, ikkje påverkar svaret ditt på den neste.

Du kryssar av helt tilfeldig. Sannsynet for å svare rett på ei oppgåve er då $$\frac{1}{4}$$, og sannsynet for å svare gale er $$\frac{3}{4}$$.

Kva er sannsynet for å få null, eitt, to, tre og fire rette svar?

Det er berre éin måte du kan få fire rette svar på. Vi lar $$R$$ tyde at eit svar er rett og $$G$$ tyde at svaret er gale.

$$\begin{array}{rcl}P\left(RRRR\right)& = & P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap R_4)\\ & & \\ & =& P\left(R_1\right)·P\left(R_2\right)·P\left(R_3\right)·P\left(R_4\right)\\ & & \\ & =& \frac{1}{4}·\frac{1}{4}·\frac{1}{4}·\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{4}\right)}^4\end{array}$$

Det er også berre éin måte du kan få null rette svar på. (Her er ikkje all utrekninga teke med.)

$$P\left(GGGG\right)=\frac{3}{4}·\frac{3}{4}·\frac{3}{4}·\frac{3}{4}={\left(\frac{3}{4}\right)}^4$$

Men, kor mange måtar kan du få to rette svar på?

Sannsynet for å svare rett på dei to første oppgåvene (og gale på dei to neste) er

$$P\left(RRGG\right)=\frac{1}{4}·\frac{1}{4}·\frac{3}{4}·\frac{3}{4}={\left(\frac{1}{4}\right)}^2·{\left(\frac{3}{4}\right)}^2$$

Men, det er fleire måtar å få to rette svar på. Du kan til dømes svare rett på dei to siste oppgåvene $$GGRR$$, på første og siste oppgåve $$RGGR$$ osb.

For å telje opp talet på måtar kan du lage eit valtre. Vi startar øvst på midten. For den første oppgåva teiknar vi to strekar på skrå nedover i kvar si retning. Den eine streken er for riktig svar, den andre for feil svar – altså éin strek for kvart val. Vi skriv også på sannsynet for kvart einskilt val ved sida av valet.

Frå enden på kvar av desse to vala teiknar vi to nye strekar for den andre oppgåva, for riktig og for feil svar. Slik vil talet på strekar doble seg for kvar ny oppgåve, og vi får ein trestruktur. Etter fire oppgåver vil vi ha $$2^4=16$$ greiner på valtreet.

Valtreet ovanfor viser kor mange måtar du kan få null, eitt, to, tre og fire rette svar på. Vi tel opp og samlar resultata i ein tabell.

Legg merke til at dette er fjerde rad i Pascal sin trekant.

At binomialkoeffisientane dukkar opp her er ikkje så underleg. Å finne talet på måtar å få to rette svar på er det same som å finne talet på måtar vi kan velje to plassar av fireder det skal stå $$R$$.

Dette blir same problemstilling som å rekne ut kor mange måtar vi kan velje ut 11 spelarar frå ein spelarstall på 20, 7 av 34 tall på ein lottokupong osb.

På sida Tre ulike typar utval kan du sjå at vi kan bruke binomialkoeffisientar for å rekne ut talet på kombinasjonar ved denne typen utval. Vi får altså at

$$P\left(\mathrm{To} \mathrm{rette} \mathrm{svar}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)·{\left(\frac{1}{4}\right)}^2·{\left(\frac{3}{4}\right)}^2$$

På same måte vil då

$$P\left(\mathrm{Tre} \mathrm{rette} \mathrm{svar}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)·{\left(\frac{1}{4}\right)}^3·{\left(\frac{3}{4}\right)}^1$$

Det gjeld heilt generelt. Vi går ut ifrå at vi har ei prøve med $$n$$ oppgåver som det blir svara på heilt uavhengig av kvarandre. For kvar oppgåve er det to moglegskapar, anten svarar vi rett eller så svarar vi gale.

Sannsynet for å svare rett er lik heile tida. Vi kan kalle dette sannsynet for $$p$$.

Då blir sannsynet for å svare gale på ei oppgåve lik $$1-p$$ , og vi får at

$$P\left(k \mathrm{rette} \mathrm{svar}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)·{\left(p\right)}^k·{\left(1-p\right)}^{n-k}$$

Samansette forsøk som til dømes å svare på fleirvalsprøva ovanfor kallar vi binomiske forsøk. Nedanfor finn du ei oppsummering som viser kva som kjenneteiknar binomiske forsøk.

Dersom det på del 1 på eksamen i matematikk S1 blir bruk for formelen for binomisk sannsyn, blir han oppgitt i eksamensoppgåva.

Å kaste ein terning eit bestemt tal gonger og sjå om vi får seksar eller ikkje på kvart enkelt kast, er eit anna døme på eit binomisk forsøk. Vi kan bruke formelen ovanfor til å rekne ut sannsynet for å få eit bestemt tal seksarar.

Å kaste ein mynt eit bestemt tal gonger og sjå om vi får «kron» eller «mynt» på kvart enkelt kast, er et også eit døme på eit binomisk forsøk. Vi kan bruke formelen ovanfor til å rekne ut sannsynet for å få eit bestemt tal «kron».

Vi kan bruke sannsynskalkulatoren i GeoGebra for å rekne ut binomisk sannsyn.

Ein fleirvalsprøve har fem oppgåver med fire svaralternativ på kvar oppgåve. Du svarar på fleirvalsprøven med rein gjetting.
Du skal finne sannsynet for å svare riktig på akkurat éi av oppgåvene. Du vel «Binomisk fordeling» og fyller inn som vist under.

Så vil du finne sannsynet for å få meir enn to rette svar.