Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. SannsynChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Hypergeometrisk sannsynsmodell

Når vi skal ta eit tilfeldig utval frå ei mengd med to ulike element, får vi ei sannsynsfordeling som vi kallar hypergeometrisk.

Døme

Røde og blå kuler

Det ligg ni kuler i ein boks. Tre av kulene er blå. Resten er raude. Vi skal trekkje fem kuler frå boksen tilfeldig.

Kva er sannsynet for at vi trekkjer to blå og tre raude kuler?

Manuell utrekning

Vi må her rekne med at utvalet frå boksen er uordna (rekkjefølgja tyder ikkje noko), og vi har ikkje tilbakelegging. Talet på moglege måtar å trekkje 5 kuler frå boksen på er 9C5 som gir

95=9!5!·9-5!=93·82·7·63·5·4!1·2·3·4·5·4!=3·2·7·3=63·2=126

Kor mange gunstige måtar finst det?

Vi skal trekkje to blå kuler av i alt tre blå kuler.

Dette kan gjerast på 32=3·21·2=3 ulike måtar.

Vi skal trekkje tre raude kuler av i alt seks raude kuler.

Dette kan gjerast på 6C3=63=6·5·41·2·3=2·2·5=20 ulike måtar.

Etter produktregelen for kombinasjonar er det då 3·20=60 ulike gunstige måtar å trekkje ut tre raude og to blå kuler på.

Vi definerer hendinga A.

A: Av dei fem uttrekte kulene er to blå og tre raude.

Sannsynet for A blir

PA=32·6395=3·201260,476

Mange situasjonar frå røyndommen svarar i prinsippet til denne situasjonen med kuler.

Ein skoleklasse består av nokre jenter og nokre gutar. Når vi frå klassen skal trekkje eit utval på eit bestemt tal elevar, har vi ei typisk hypergeometrisk sannsynsfordeling. Vi kan då rekne som i dømet ovanfor og reknar ut sannsyn for fordeling av gutar og jenter i utvalet.

I Eksamensrettleiinga frå Utdanningsdirektoratet finn du eit oversyn over "Formlar som ein føreset kjende ved Del 1 av eksamen" for dei ulike faga. For faget S1 står det at dersom hypergeometrisk fordeling går inn i Del 1 av eksamen, vil aktuell formel bli oppgitt som vist nedanfor.

Hypergeometrisk fordeling

PX=k=mkn-mr-knr

Denne formelen står heller ikkje på lista over formlar som skal vere kjent på del 1 i R1.

Formelen kan vi forstå på følgjande måte, brukt på dømet over:

Vi har ei mengd med n element (9 kuler i ein boks). m av desse elementa er av éin type (3 av kulene er blå), og n-m av elementa er av ein annan type (9-3=6 kuler er raude).

Vi skal trekkje r element tilfeldig. (Vi trekkjer 5 kuler tilfeldig.)

La X vere kor mange av dei uttrekte kulene som skal vere blå (vi kunne óg gjort det motsette). Vi skal ha 2 blå kuler, som betyr at k=2. Vi kan då finne sannsynet for at X=2 slik

PX=2=mk·n-mr-knr=32·9-35-295=32·6395=0,476

Formelen er altså ei generell oppskrift som alltid kan brukast når vi har hypergeometriske sannsynsfordelingar.

Utrekning med digitale hjelpemiddel

Hypergeometrisk fordeling i GeoGebra. Illustrasjon.
Vi finn også no at i dømet over, så er sannsynet for at X \

Du kan velje «Hypergeometrisk fordeling» i sannsynskalkulatoren til GeoGebra.
Her kallar vi det samla talet på element for «populasjon». Det svarar til n i formelen frå Udir.
Talet på element av «ein spesiell type» blir i sannsynskalkulatoren kalla for n. OBS! Det svarar til m i formelen frå Udir.

Talet på element som blir trekte ut, kallar vi «utval». Det svarar til r i formelen frå Udir.
Bokstaven X nemner også her talet på element i utvalet som er av «ein spesiell type».

Vi kan også tenkje på denne måten dersom vi skal ta eit utval frå ei mengd som inneheld meir enn to ulike typar element.

I staden for å la n stå for talet på blå kuler i dømet ovanfor, kan du la bokstavens stå for talet på raude kuler, som er 6. Korleis bruker du sannsynskalkulatoren no for å løyse oppgåva?

Døme

Elevrådet ved ein skole består av åtte elevar frå Vg1, seks elevar frå Vg2 og to elevar frå Vg3. Seks elevar frå elevrådet skal vere med å arrangere OD-dagen. Dei seks elevane blir valde ut tilfeldig.

Finn sannsynet for at to elevar frå kvart klassetrinn blir valde ut.

Tal på uordna utval utan tilbakeleggjing på 2 av dei 8 frå Vg1: 82

Tal på uordna utval utan tilbakeleggjing på 2 av dei 6 frå Vg2: 62

Tal på uordna utval utan tilbakeleggjing på 2 av dei 2 frå Vg3: 22

Den siste veit vi med ein gong må vere 1 sidan det berre er eitt mogleg utval når begge tredjeklassingane skal vere med.

Tal på uordna utval utan tilbakeleggjing på 6 av dei totalt 16 elevane: 166

Då kan vi setje opp uttrykket for sannsynet det blir spurt etter.

P(2 elevar frå kvart klassetrinn blir vald ut) = 82·62·22166=28·15·180080,052

Legg merke til at 8+6+2=16 og 2+2+2=6.

Du vil alltid kunne summere på denne måten dersom du har sett opp uttrykket på rett måte!

Hjerte

Du kan alltid tenkje på denne måten når du arbeider med oppgåver der eit utval skal trekkjast frå ei mengd der elementa kan delast inn i grupper etter visse kriterium.

Vi avsluttar med eit døme henta frå ei eksamensoppgåve. Som du ser, kan vi no finne sannsynet for at berre éin av to kjærestar får vere med på tur!

Døme

I klassen til Kåre, Janne og Ane er det 15 jenter og 10 gutar. Klassen har vunne ein tur til Hellas for 6 elevar. Dei elevane blir trekte ut ved loddtrekning.

1) Finn sannsynet for at Ane får vere med på turen.
2) Finn sannsynet for at akkurat 3 jenter og 3 gutar får vere med på turen.

Kåre og Janne er kjærastar.

3) Finn sannsynet for at berre éin av dei får vere med på turen.

(Eksamen 2T, Hausten 2009)

Løysing

1) Her deler vi elevane inn i Ane og resten. Vi skal altså trekkje 1 Ane og 5 av dei andre elevane.

PAne får vere med  turen=11·245256=0,24

Her kunne vi også funne svaret ved å tenkje «gunstige delt på moglege».

PAne får vere med  turen=gm=625=0,240

2) Her deler vi elevane inn i gutar og jenter, og vi skal ha tre av kvar.

P3 jenter og 3 gutar får vere med=153·103256=782530,308

3) Her deler vi elevane inn i kjærastar og ikkje-kjærastar. Vi skal ha éin kjærast og fem ikkje-kjærastar.

PBerre ein av dei to kjærastane får vere med=21·235256=1950=0,38

Læringsressursar

Sannsyn