Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. SannsynChevronRight
  4. Tre ulike typar utvalChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Tre ulike typar utval

Dei tre aktuelle typane utval vi skal arbeide med, er ordna utval med eller utan tilbakelegging og uordna utval utan tilbakelegging.

1. Ordna utval med tilbakelegging

Nummer 1

Tippekupong

Tenk deg at du skal fylle ut ein tippekupong med tolv fotballkampar heilt tilfeldig. Du legg tre lappar i ein hatt. På den eine lappen står det H for heimesiger, på den andre står det U for uavgjort, og på den tredje lappen står det B for bortesiger.

Den første lappen du trekkjer, skal gi resultatet i kamp nummer 1. Lappen må så leggjast tilbake i hatten før resultatet i kamp nummer 2 blir trekt. Vi har derfor eit utval med tilbakelegging. Det tyder også noko kva for ei rekkjefølgje lappane blir trekte i. Det er ikkje likegyldig om du først trekkjer H og så U, eller om du først trekkjer U og så H. Det vil seie at utvalet er ordna.

Vi har då eit ordna utval med tilbakelegging. Etter produktregelen for kombinasjonar blir talet på moglege kombinasjonar då lik

3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3·3=312

Talet på moglege kombinasjonar av et ordna utval med tilbakelegging av r element frå n element er gitt ved

nr.

2. Ordna utval utan tilbakelegging

Nummer 2

I ein klasse med 30 elevar skal vi velje eit styre som skal bestå av leiar, nestleiar og sekretær. Vi vel først leiar. Då har vi 30 moglege utfall. Så vel vi nestleiar. Då er det 29 elevar igjen å velje mellom sidan leiaren ikkje også kan vere nestleiar. For kvar av dei 30 moglege leiarane kan vi få 29 moglege nestleiarar, altså 30·29 moglege kombinasjonar. Til slutt vel vi sekretær. Då er det 28 elevar igjen å velje mellom (28 lappar igjen i hatten).

Sidan rekkjefølgja har noko å seie og ein person ikkje kan inneha fleire verv, har vi altså eit ordna utval utan tilbakelegging.

Produktregelen seier at talet på moglege styresamansetningar blir 30·29·28. Dette kan også skrivast som

30·29·28=30·30-1·30-2=30·30-1·30-3+1

Vi tenkjer no at vi skal velje eit styre på r elevar ut frå ei gruppe på n elevar. Kriteria er dei same som ovanfor. Talet på moglege styresamansetningar blir då

n·n-1·n-2· ...·n-r+1

Formelen blir meir «brukarvenleg» om vi multipliserer med  n-r!  i teljar og nemnar. Då får vi nemleg n-fakultet i teljar.

n·n-1·n-2· ...·n-r+1=n·n-1·n-2· ... ·n-r+1)·n-r!1·n-r!=n!n-r!

Talet på mogelege kombinasjonar i desse situasjonane kjenneteiknast med nPr der P står for permutasjonar.

Talet på moglege kombinasjonar for eit ordna utval utan tilbakelegging av r element frå n element er gitt ved

nPr=n·n-1·n-2· ...·n-r+1=n!n-r!

I GeoGebra er kommandoen

nPr[<Tal>,<Tal>]

der det første talet er n og det andre talet r.

Formelen må også gjelde for det tilfelle at  r=n. Då er  (n-r)!=0!. Dette krev ein definisjon av 0!. Ved å definere  0!=1, blir formelen rett også for det tilfelle at  r=n.

Når  r=n, er

nPr=n!n-r!=n!n-n!=n!0!=n!1=n!

Dette vil til dømes gjelde dersom vi skal finne ut kor mange rekkjefølgjer elevar i ein klasse kan stille seg opp i.

3. Uordna utval utan tilbakelegging

Nummer 3

I ein klasse med 30 elevar skal vi no berre velje eit styre som skal bestå av tre elevar. Rekkjefølgja på dei som blir trekte ut tyder ikkje noko. Ein person kan ikkje inneha fleire verv. Vi har då ein situasjon med eit uordna utval utan tilbakelegging.

Dersom dette hadde vore eit ordna utval utan tilbakelegging, slik som i det førre dømet, ville talet på kombinasjonar vore gitt ved

nPr=n·n-1·n-2· ...·n-r+1=30·29·28

I dette tilfellet, når rekkjefølgja ikkje har noko å seie, fell det bort nokre kombinasjonar. Når vi trekkjer ut tre elevar, kan desse tre elevane trekkjast ut (kombinerast) på  3·2·1=3!=6  ulike måtar. Desse seks kombinasjonane inneheld dei same tre elevane. Når rekkjefølgja ikkje har noko å seie, er desse seks kombinasjonane like, og vi kan berre ha med eitt av dei i oppteljinga. Vi får altså eit tal på utval som er seks gongar for stort med formelen for nPr, så vi må dele formelen på 6.

Vi får difor

30·29·286=30·29·283·2·1=30·29·283!

moglege kombinasjonar i dette tilfellet.

Ålment får vi at talet på moglege kombinasjonar for eit uordna utval utan tilbakelegging av r element frå n element er gjeve med formelen

n·n-1·n-2· ... ·n-r+1r!=n!r!n-r!

Vi såg under kapittelet «Binomialkoeffisientar» døme på utval der binomialkoeffisientar frå Pascals taltrekant gav talet på moglege kombinasjonar. Alle desse døma var nettopp uordna utval utan tilbakelegging. Du hugsar kanskje døma med lotto og laguttak.

Vi hugsar skrivemåtane for binomialkoeffisientane som nCr og nr, som vi les «n over r ».

Vi har no funne ein formel for binomialkoeffisienten som vi kan bruke til å rekne «for hand» som eit alternativ til å setje opp Pascals taltrekant. Dette er nyttig på del 1 av eksamen.

Talet på moglege kombinasjonar for eit uordna utval utan tilbakelegging av r element frå n element er gjeve med formelen

nr=nCr=n!r!n-r!

I GeoGebra er kommandoen nCr[<Tal>,<Tal>] der det første talet er n og det andre talet r .

Læringsressursar

Sannsyn