Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. SannsynChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Viktige omgrep i kombinatorikk

Når vi skal rekne ut sannsyn der det skal trekkjast fleire gonger frå ei større gruppe, er det viktig å finne ut om det uttrekket - utvalet - vi gjer er ordna eller uordna. I tillegg spelar det stor rolle om vi har trekking med eller utan tilbakelegging.

Ordna og uordna utval

Tenk deg at vi frå ein klasse på elevar 30 skal trekkje ut tre elevar til skolelaget i fotball. Vi gir alle elevane eit nummer frå 1 til 30, legg 30 lappar nummererte frå 1 til 30 i ein hatt og trekkjer så ut tre lappar. Det er likegyldig om vi trekkjer rekkjefølgja 3, 5 og 7, eller om vi først trekkjer nummer 7, så nummer 5 og så elev nummer 3. Det blir elevane nummerert som 3, 5 og 7 som blir tatt ut på laget.

Er det derimot eit lotteri der den første som blir trekt ut, vinn førstepremien, den andre som blir trekt ut, vinn andrepremien og den tredje vinn tredjepremien, tyder rekkjefølgja noko. Då er det ikkje likegyldig om vi trekkjer 3, 5 og 7, eller om vi trekkjer 7, 5 og 3.

Dersom rekkjefølgja av tala ikkje har noko å seie, har vi eit uordna utval. Dvs. at 3, 5, 7 er det same som 7, 5, 3.

Dersom rekkjefølgja har noko å seie, er 3, 5, 7 noko anna enn 7, 3, 5 og vi har eit ordna utval.

Med og utan tilbakelegging

I klasselotteriet ovanfor må vi bestemme oss for om same elev kan vinne fleire premiar. Dersom det skal vere mogleg, må vi leggje tilbake lappen vi har trekt ut før vi trekkjer neste. Dersom det ikkje skal vere mogleg å vinne fleire premiar, legg vi ikkje tilbake ein lapp som er trekt ut.

Dersom du ikkje kan trekkje ein lapp meir enn ein gong, har vi eit utval utan tilbakelegging.

Dersom du kan trekkje den same lappen to gonger eller meir, har vi eit utval med tilbakelegging.

Produktregelen for kombinasjonar
Ny mobiltelefon?

Tenk deg at du skal kjøpe ny mobiltelefon, og at det finst to produsentar å velje mellom. Kvar av desse produsentane har tre modellar, og kvar modell er å få i fire fargar. Kor mange ulike mobiltelefonar kan du ende opp med?

For kvar produsent kan du velje tre modellar.
Det gir 2·3 moglege kombinasjonar.


For kvar av desse kan du velje fire farger. Talet på moglege kombinasjonar totalt blir då 2·3·4=24. Du kan ende opp med 24 ulike mobiltelefonar.

Produktregelen for kombinasjonar

Når vi skal gjere to val etter kvarandre, og det er m moglege uttrekk i første val og n moglege uttrekk i andre val, er det til saman

m·n moglege kombinasjonar

Dersom vi held fram med fleire val, held vi fram med å multiplisere med talet på moglege uttrekk i kvart val.

Fakultet

Produktet av alle naturlege tal frå 1 til n kallar vi n -fakultet. Som symbol bruker vi utropsteikn. Utropsteiknet set vi etter talet. Til dømes skriv vi 3-fakultet som 3!, og vi har at 3!=1·2·3=6. Vi definerer 0-fakultet til å vere lik 1.

Definisjon

n!=1·2·3·4·.......·n0!=def1

Definisjonen av n-fakultet som produktet av alle naturlege tal frå 1 til n har inga meining for n=0. Du skal seinare sjå at definisjonen av 0! som lik talet 1 gjer det mogleg å lage gunstige formlar i kombinatorikken.

Læringsressursar

Sannsyn