Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. SannsynChevronRight
  4. Pascals taltrekantChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Pascals taltrekant

Blaise Pascal var ein kjend fransk matematikar som levde på 1600-talet. Ein spesiell taltrekant har fått namnet etter Pascal sjølv om trekanten var kjend i mange hundre år før Pascal levde.

Blaise Pascal (1623 – 1662).  Fransk matematikar, fysikar, oppfinnar og filosof.
Blaise Pascal (1623 – 1662). Fransk matematikar, fysikar, oppfinnar og filosof.

Du skal bli kjend med Pascals taltrekant gjennom nokre oppgåver.

Oppgåve 1

Pascal sin taltrekant. Første rad har eitt tall, 1. Andre rad har to tal, begge er 1. For kvar rad aukar talet på tal med éin. Alle tala som er først og sist på ei rad, er 1. Dei andre tala er summen av dei to tala som ligg rett over.

Lag ein trekant av ruter som figuren ovanfor viser. Skriv inn talet 1 i alle rutene langs kanten av trekanten.

Vi har byrja å fylle inn tal i resten av rutene. Prøv å finne ut korleis vi har funne desse tala!
Hald fram etter same mønster og fyll inn tal i alle rutene.

Av praktiske årsaker er det lurt å kalle den øvste rada i Pascal sin talltrekant for rad numer 0. Den andre rada blir då rad nummer 1. I trekanten ovanfor har vi valt å lage 11 rader, som tyder at nedste rada er rad nummer 10. Trekanten kan utvidast etter same mønster.

Forklaring på talmønsteret: Trekanten blir bygd ved å setje 1-arar på kantane, og la kvart tal innanfor 1-arane vere summen av dei to tala i rada over som er på kvar side av talet. Døme: Talet 10 på rad nummer 5 (den sjette rada) får vi ved å finne summen av dei to tala i rada over som er 4 og 6.

Pascals trekant. Frå ei tysk reknebok utgitt i 1527. Her er 1-tala langs kantane ikkje tatt med. Ser du elles at tala i trekante
Pascals trekant. Fra en tysk regnebok utgitt i 1527. Her er 1-tallene langs kantene ikke tatt med. Ser du ellers at tallene i trekanten er de samme som du fant ovenfor?

Oppgåve 2
Pascal sin taltrekant, ferdig fylt ut med tal. Illustrasjon.

a) Sjå på skrå nedover frå det første 1-talet i rad nummer ein (den andre rada) i Pascals trekant. Kva for ei talrekkje ser du?

b) Korleis kan du bruke trekanten til å finne svar på rekneoppgåvene nedanfor?

1) 1+2=
2) 1+2+3=
3) 1+2+3+4=
4) 1+2+3+4+5+6+7+8+9=

(Sjå på tala som er markerte i trekanten til høgre dersom du treng eit hint.)

Oppgåve 3
Pascal sin taltrekant, ferdig fylt ut med tal inkludert summen av tala på kvar rad, som kan skrivast som ein toarpotens. Illustrasjon.

Legg saman tala i kvar rad i Pascal sin taltrekant. Skriv svara på potensform. Kva blir mønsteret? Skjønar du kvifor det er lurt å start radnummereringa i Pascal sin taltrekant på null?

Oppgåve 4

Ein sum av to ledd blir kalla eit binom. Bruk eit digitalt verktøy og rekn ut binomet (a+b)n, kor n[0,  som vist nedanfor. Studer koeffisientane, og jamfør med tala i Pascals taltrekant.

(a+b)0=1(a+b)1=1a+1b(a+b)2=1a2+2ab+1b2(a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3(a+b)4=(a+b)5=(a+b)6=

Dette mønsteret er óg eit argument for kvifor vi startar radnummereringa på null i Pascal sin taltrekant.

Oppgåve 5

Boks med tre kuler med kvar sin bokstav A, B og C. Illustrasjon.

I ein hatt ligg det tre kuler merka med A, B og C.

Dersom du skal trekkje ut éi kule frå hatten, har du tre moglegheiter. Du kan trekkje A, B eller C.

Det finst også tre måtar å trekkje ut to kuler på.
Du kan trekkje ut A og B, A og C eller B og C.

Det finst berre éin måte å trekkje ut tre kuler på, nemleg at du trekkjer alle kulene A, B og C. Vi kan også seie at det berre finst éin måte å trekkje ut null kuler på. Du kan la vere å trekkje.

Vi lar det først liggje null kuler i hatten, så éi kule, to kuler, deretter tre kuler osb.
I kvart tilfelle undersøkjer vi, som ovanfor, kor mange kombinasjonar vi kan lage av null kuler, éi kule, to kuler osb.

Fyll ut tabellen nedanfor.

Tal på element i
hatten
Tal på element i uttrekk
0
1
2
3
4
5
Tal på uttrekk
Ingen
1
-
-
-
-
-
A
1
1
-
-
-
-
A B
1
2
1
-
-
-
A B C
-
-
-
-
-
-
A B C D
-
-
-
-
-
-
A B C D E
-
-
-
-
-
-

Kva slags talmønster får du når tabellen er ferdig fylt ut?

Læringsressursar

Sannsyn