Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. AndregradslikningarChevronRight
  5. Likningssett med likningar av første og andre gradChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Likningssett med likningar av første og andre grad

Vi kan bruke dei same metodane for å løyse likningssett der den eine likninga er av andre grad som vi gjer når begge likningane er av første grad.

Når vi løyser likningssett med to likningar av første grad, kan vi bruke innsetjingsmetoden. Denne metoden kan vi også bruke her. Det luraste er då ofte å finne eit uttrykk for den eine ukjende ved hjelp av førstegradslikninga, og så setje dette inn i andregradslikninga.

Døme

Vi har gitt likningssettet

12x2-2x-y=3x+y=1

Her er den første likninga av andre grad og den andre likninga av første grad. Vi bruker førstegradslikninga til å finne eit uttrykk for y.

x+y = 1    y=1-x

Vi set uttrykket inn for y inn i andregradslikninga (bruk parentesar for å unngå forteiknsfeil).

12x2-2x-y = 3x22-2x-1-x=3x22-2x-1+x=3x22-x-4=0x22·2-x·2-4·2=0·2x2-2x-8=0

Vi får ei andregradslikning med éin ukjend, og denne kan vi løyse ved å bruke abc-formelen. Det er ikkje nødvendig å multiplisere med to i likninga, men fordelen er at då slepp vi å setje inn brøkar i formelen.

x = --2±-22-4·1·-82·1x=2±4+322x=2±362x=2±62x=-2   eller   x=4

Grafisk løysing av likningssettet  som inneheld likningane ein halv x i andre minus 2 x minus y = 3 og x pluss y = 1 med markering av skjeringspunkta (minus 2, 3) og (4, minus 3). Illustrasjon.

Vi set desse løysingane inn i uttrykket for y.

y = 1-xy1=1--2=1+2=3y2=1-4=-3

Likningssettet har to sett med løysingar .

x = -2   og   y=3x=4     og    y=-3

I figuren visest den grafiske løysinga av likningssettet der vi har teikna grafane til dei to likningane og funne skjeringspunkta mellom dei. Vi får det same resultatet som ved manuell rekning.

Likningssett av første og andre grad i GeoGebra. Illustrasjon.

Ved CAS i GeoGebra skriv vi inn likningane på kvar si linje, markerar dei og trykkjer på knappen "Løys" x  =.

Døme

Vi har gitt likningssettet

2x2-2x-y2=82x-y=-2

Vi bruker førstegradslikninga til å finne eit uttrykk for y.

2x-y = -2-y=-2-2xy=2x+2

Vi set så uttrykket for y inn i andregradslikninga.

2x2-2x-y2 = 82x2-2x-(2x+2)2=82x2-2x-(4x2+8x+4)=82x2-2x-4x2-8x-4=8-2x2-10x-12=0         | :-2x2+5x+6=0

Legg merke til at vi her dividerer med -2 i siste linje for å få greiare tal å arbeide med når vi skal bruke abc-formelen.

Vi bruker abc-formelen til å løyse denne likninga.

x = -5±52-4·1·62·1x=-5±25-242x=-5±12x=-2   eller   x=-3

Vi set så desse løysingane inn i uttrykket for y.

y = 2x+2y1=2·(-2)+2=-2y2=2·(-3)+2=-4

Likningssettet har to sett med løysingar.

x=-2    y=-2        x=-3    y=-4

Hugs at betyr "og" medan betyr "eller".

Likningssett av første og andre grad i GeoGebra 2. Illustrasjon.

Ved CAS i GeoGebra får vi same løysing.

Læringsressursar

Andregradslikningar