Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. AndregradslikningarChevronRight
  5. Å løyse andregradslikningar ved abc-formelenChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Å løyse andregradslikningar ved abc-formelen

abc-formelen er ein formel vi kan bruke til å løyse alle andregradslikningar - dersom dei har løysing.

Dersom du har hatt faget 1T, brukte du abc-formelen for å løyse andregradslikningar.

abc-formelen

Andregradslikninga ax2+bx+c=0 har løysingane

x=-b±b2-4ac2aa0 b2-4ac0

Vi bruker teiknet ± for å spare skriving. Det tyder at der er eigentleg to andregradsformlar: éin med pluss og éin med minus.

Når vi løyser ei andregradslikning med abc-formelen, ordnar vi først likninga slik at ho kjem på forma ax2+bx+c=0.

Du hugsar at vi definerte kvadratrota berre av positive tal og null. Det vil seie at andregradslikninga ikkje har løysingar blant dei reelle tala når det som står under rotteiknet er mindre enn null.
Kanskje det digitale verktøyet du bruker då gir løysingar med bokstaven i ? Det vil seie at løysinga er imaginær.

Andregradslikninga har berre éi løysing når det som står under rotteiknet er lik null.

Vi skal no sjå på nokre døme på bruk av abc-formelen.

Døme 1

          x2 = 5-4xx2+4x-5=0            x=-4±42-4·1-52·1            x=-4±16+202            x=-4±362            x=-4+62         x=-4-62            x=1                 x=-5

Likninga har to løysingar. Det er altså to verdiar for x som passar i den opphavlege likninga.

bilde av koordinatsystem

Til høgre ser du at den grafiske løysinga gir same resultat.

Døme 2

x2+4x+4 = 0            x=-4±42-4·1·42·1            x=-4±16-162            x=-4±02            x=-2

bilde av den digitale grafiske løsningen

Uttrykket under rotteiknet er null, og vi får berre éi løysing. Dette ser vi også av den digitale grafiske løysinga til høgre.

For å løyse denne likninga kunne vi også brukt første kvadratsetning og fått

 x2+4x+4 = 0     x+22=0         x+2=0             x=-2

Døme 3

x2-2x+4 = 0            x=--2±-22-4·1·42            x=4±4-162            x=4±-122            Ingen løsning

Vi får -12 under rotteiknet og -12 er ikkje definert når vi reknar med reelle tal. Vi får derfor inga løysing, dvs. at det ikkje finst noko reelt tal som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likninga blir null.

Bilde av den grafiske løsningen

Dette er vist ved at grafen til funksjonen f gitt ved fx=x2-2x+4 ikkje skjer
x-aksen. Sjå koordinatsystemet.

Løsing av andregradslikninger i GeoGebra. Illustrasjon.

Ved CAS i GeoGebra får vi følgjande løysingar ved å bruke knappen x=

Læringsressursar

Andregradslikningar