Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. AndregradslikningarChevronRight
  5. Faktorisering av andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetodenChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Faktorisering av andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden

Vi kan også faktorisere andregradsuttrykk ved ein metode som vi kallar nullpunktmetoden. Vi illustrerer metoden gjennom to døme.

Døme 1

Vi ser på andregradsuttrykket  x2-2x-8.

Vi startar med å finne nullpunkta.

Vi løyser då likninga  x2-2x-8=0

x2-2x-8 = 0           x=--2±-22-4·1·-82·1           x=2±4+322           x=2±62           x1=2-62=-2           x2=2+62=4

Uttrykket  x2-2x-8  er altså lik null når  x=-2  og når  x=4.
Ser du at uttrykket  x--2x-4=x+2x-4  også er lik null når  x=-2  og når  x=4?

Vi multipliserer og ser at

x+2x-4=x2-4x+2x-8=x2-2x-8

Vi har då at

x2-2x-8=x+2x-4

Andregradsuttrykket er faktorisert!

Er dette ein metode vi kan bruke for å faktorisere alle andregradsuttrykk?

Vi prøver med eit nytt døme!

Døme 2

Vi ser på uttrykket 2x2-x-3.

Vi startar igjen med å finne nullpunkta, og løyser likninga  2x2-x-3=0.

2x2-x-3 = 0           x=--1±-12-4·2·-32·2           x=1±254           x1=1-54=-1           x2=1+54=64=32

Uttrykket  2x2-x-3  er altså lik null når  x=-1  og når  x=32.

Vi prøver same metode som i førre døme og ser at uttrykket  x+1x-32  også er lik null når  x=-1  og når  x=32.

Vi multipliserer og får

x+1x-32=x2-32x+x-32=x2-12x-32

Dette er ikkje det same andregradsuttrykket som vi starta med.

Vi starta med

2x2-x-3

Når vi multipliserer ut parentesane, får vi

x2-12x-32

Ser du at vi kan multiplisere det siste uttrykket med 2 og få det andregradsuttrykket vi starta med?

x2-12x-32·2=2·x2-2·12x-2·32=2x2-x-3

Vi har då at

2x2-x-3=2x+1x-32

Andregradsuttrykket er faktorisert!

Dersom vi ønskjer eit uttrykk utan brøk, kan vi multiplisere 2-talet
inn i den siste parentesen

2x2-x-3=2x+1x-32=x+12x-3

Vi ser fort at vi må multiplisere med 2, fordi det siste uttrykket inneheld leddet x2, medan det polynomet vi starta med inneheld leddet 2x2.

Den metoden vi har brukt for å faktorisere i dei to døma ovanfor, kallar vi nullpunktmetoden. Du skjønar kanskje kvifor?

Nullpunktmetoden

ax2+bx+c=ax-x1x-x2

der x1 og x2 er løysingane av den generelle andregradslikninga ax2+bx+c=0.

Når det berre finst éi løysing av andregradslikninga, er  x1=x2.
Når andregradslikninga ikkje har løysingar, kan ikkje uttrykket faktoriserast.

Ved CAS i GeoGebra får vi

Faktorisering av andregradsuttrykket 2 x i andre minus x minus 3 med kommandoen Faktoriser i GeoGebra. Skjermutklipp.

Ikkje gløym at a må vere med i det faktoriserte uttrykket! Kvar har det vorte av talet a framfor parentesane når vi bruker CAS til å faktorisere uttrykket i døme 2?

Læringsressursar

Andregradslikningar