Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. AndregradslikningarChevronRight
  5. Andregradslikningar med abc-formelenChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgaver og aktiviteter

Andregradslikningar med abc-formelen

1.4.3

Løys likningane ved å bruke abc-formelen.

a) x2+7x=-6

vis fasit

x2+7x+6 = 0x=-7±72-4·1·62·1x=-7±49-242x=-7±252x1=-7+52=-1     eller       x2=-7-52=-6

b) x2+5x=-6

vis fasit

x2+5x+6 = 0x=-5±52-4·1·62·1x=-5±25-242x=-5+12x1=-5+12=-2         eller   x2=-5-12=-3

c) x2=2x+24

vis fasit

x2-2x-24 = 0x=--2±-22-4·1·-242·1x=2±4+962x=2±1002x1=2+102=6             eller          x2=2-102=-4

1.4.4

Løys likningane ved å bruke abc-formelen.

a) 3x2-3x-6=0

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 3 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får da

x2-x-2 = 0x=--1±-12-4·1·-22·1x=1±1+82x=1±92x1=1+32=2    eller    x2=1-32=-1

b) -2x2+2x+4=0

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med -2 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får da

x2-x-2 = 0x=--1±-12-4·1·-22·1x=1±1+82x=1±92x1=1+32=2    eller    x2=1-32=-1

c) -5x=x2+6

vis fasit

-x2-5x-6 = 0x=--5±-52-4·-1·-62·-1x=5±25-24-2x=5±1-2x1=5+1-2=-3     eller     x2=5-1-2=-2

d) -x2-6x-8=0

vis fasit

-x2-6x-8 = 0x=--6±-62-4·-1·-82·-1x=6±36-32-2x=6±4-2x1=6+2-2=-4     eller     x2=6-2-2=-2

e) 3x2+12=-12x

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 3 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

x2+4x+4 = 0x=-4±42-4·1·42·1x=-4±16-162x=-4±02x1=x2=-42=-2

f) 3x2+2=2x

vis fasit

x = --2±-22-4·3·22·3x=2±4-246x=2±-206Inga løysing(Negativt tal under rotteiknet.)

1.4.5

Løys likningane ved å bruke abc-formelen.

a) 270x2+230x=540-40x

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 270 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

270x2+270x-540 = 0    :270x2+x-2=0x=-1±12-4·1·-22·1x1=-1-32=-2    eller   x2=-1+32=1

b) 360x2-360x=-90

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 90 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

360x2-360x+90 = 0    :904x2-4x+1=0x=4±-42-4·4·12·4x1=4+08        eller      x2=4-08x1=x2=12

c) 0,3x2+0,2=0,2x

vis fasit

Her er det lurt å multiplisere alle ledd med 10 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

0,3x2-0,2x+0,2 = 0 ·10           3x2-3x+2=0x=2±-22-4·3·22·3x=2±4-246x=2±-206Inga løysing(Negativt tal under rotteiknet.)

d) 0,003x2+0,002=0,002x

vis fasit

Her er det lurt å multiplisere alle ledd med 1000 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

0,003x2-0,002x+0,002 = 0 ·10003x2-2x+2=0x=2±-22-4·3·22·3x=2±4-246x=2±-206Ingen løsning(Negativt tall under rottegnet.)

1.4.6

Løys likningane

a) x2-4x+2=0

vis fasit

x =--4±-42-4·1·22·1x=4±82x=4+222     eller     x=4-222x=22+22     eller     x=22-22x1=2+2     eller     x2=2-2

b) 10x2=10x+4

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får da

5x2-5x-2 = 0x=--5±-52-4·5·-22·5x=5±6510x1=5+6510     eller     x2=5-6510

c) xx-2+2=4-4x

vis fasit

x2-2x+2-4+4x = 0               x2+2x-2=0x=-2±22-4·1·-22·1x=-2±122x=-2±232x=2-1+32     eller     x=2-1-32x1=3-1     eller     x2=-1-3

d) 4-x2-x=3x-1+2x2

vis fasit

                        4-2x+x2 = 3x-3+2x2x2-2x2-2x-3x+4+3=0                     -x2-5x+7=0x=--5±-52-4·-1·72·-1x=5±25+28-2x=5±53-2x1=-5+532     eller     x2=-5-532 

e) 4x2-2x3-x+11x=3x+1-2x2

vis fasit

                        4x2-6x+2x2+11x = 3x+3-2x24x2-2x2+2x2-6x+11x-3x-3=0                                       8x2+2x-3=0                       x=-2±22-4·8·-32·8                       x=-2±1002·8                       x=-2±102·8                      x1=-34     eller     x2=12

1.4.7

Grunnflata til eit hus er eit rektangel med x meter breidde og (x+4) meter lengde. Arealet er 96 m². Set opp ei andregradslikning og rekn ut kor langt og kor breitt huset er.

vis fasit

Vi set opp ei likning

x·x+4 = 96x2+4x-96=0x=-4±42-4·1·-962·1x=-4±4002x=-4±202x1=8     eller     x2=-12

Her bruker vi berre den positive løysinga.

x+4=12

Huset er 12 m langt og 8 m bredt.

1.4.8

Grunnflata til eit hus er eit rektangel med breidde (x-5) meter og lengde x meter. Arealet er 126 m². Set opp ei andregradslikning og rekn ut kor langt og kor breitt huset er.

vis fasit

Vi set opp ei likning

       x·x-5 = 126x2-5x-126=0x=5±52-4·1·-1262·1x=5±5292x=5±232x1=14     eller     x2=-9

Her bruker vi berre den positive løysinga.

14-5=9

Huset er 14 m langt og 9 m bredt.

1.4.9

Grunnflata til ein garasje er eit rektangel med x meter breidde og og (x+2) meter lengde. Diagonalen i grunnflata er 10 meter. Set opp ei andregradslikning og rekn ut kor lang og kor brei garasjen er.

vis fasit

x2+x+22 = 102x2+x2+4x+4-100=02x2+4x-96=0

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 for å få lettare tal å setje inn i abc-formelen.

Vi får då

x2-2x-48 = 0x=-2±22-4·1·-482·1x=-2±1962x=-2±142x1=6     eller     x2=-8

Her bruker vi berre den positive løysinga.

6+2=8

Garasjen er 8 m lang og 6 m brei.

1.4.10

Ei tomt er eit rektangel med x meter breidde og (x+10) meter lengde. Diagonalen er 50 meter. Finn arealet av tomta.

vis fasitVi må først finne lengda av sidene. Vi set opp ei likning

                       x2+x+102 = 502x2+x2+20x+100-2500=0                2x2+20x-2400=0

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 for å få lettare tal å setje inn i abc-formelen.
Vi får då

x2+10x-1200 = 0x=-10±102-4·1·-12002·1x=-10±49002x=-10±702x1=30     eller     x2=-40

Her bruker vi berre den positive løysinga.

30+10=40

Sidelengdene blir 30 m o g 40 m.

Arealet blir då 30 m·40 m=1200 m2

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 for å få lettare tal å setje inn i abc-formelen. Vi får då

1.4.11

a) Gitt andregradslikninga ax2-4x+4=0.

Bruk abc-formelen og finn ut kva for verdier av a som gir to løysingar, éi løysing og inga løysing.

vis fasit

x = --4±-42-4·a·42·ax=4±16-16a2a

Vi ser på uttrykket under rotteiknet, 16-16a.

Dersom a>1 vil uttrykket under rotteiknet bli negativt, og vi har inga løysing.

Dersom a=1 vil uttrykket under rotteiknet bli lik 0, og vi får én løysing x=42·1=2.

Dersom a<1 vil uttrykket under rotteiknet bli positivt, og vi har to løysingar.

b) Gitt andregradslikningen x2-bx+4=0

Bruk abc-formelen og finn ut kva for verdier av b som gir to løysingar, éi løysing og inga løysing.

vis fasit

x= --b±-b2-4·1·42·1x=b±b2-162

Vi ser på uttrykket under rotteiknet, b2-16.

Dersom b2<16 vil uttrykket under rotteiknet bli negativt, og vi har inga løysing.

Dette vil skje når b ligg mellom -4 og 4.

Dersom b2=16, dvs når b=4 eller b=-4 vil uttrykket under rotteiknet bli lik 0, og vi får éi løysing,x=42·1=2 eller x=-42·1=-2.

Dersom b2>16 dvs når b>4 eller b<-4, vil uttrykket under rotteiknet bli positivt, og vi har to løysingar.

1.4.12

Camilla kastar ein ball rett opp i lufta. Etter t sekunder er høgda h meter over bakken gitt ved andregradsuttrykket h=14,5t-4,9t2+1,8.

a) Når er ballen 10 m over bakken?

vis fasit

Vi set inn 10 m for høgda h og får: 10=14,5t-4,9t2+1,8

Vi løyser likninga i GeoGebra: 10=14.5t-4.9t²+1.8

t1=0,76     eller     t2=2,2

Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på veg opp) og etter 2,2 s (på veg ned).

b) Når treff ballen bakken?

vis fasitNår ballen treff bakken, er høgda over bakken 0 m. Vi set inn 0 m for høgda h og får

0=14,5t-4,9t2+1,8

Vi løser likningen i GeoGebra: 0=14.5t-4.9t²+1.8

t=-0,12     eller     t=3,08

Vi kan berre bruke den positive løysinga.

Ballen treff bakken etter 3,08 s.

c) Når er ballen 15 m over bakken? Kva betyr svaret du får?

vis fasit

Vi sett inn 15 m for høgda h og får

15=14,5t-4,9t2+1,8

Vi løyser likninga i GeoGebra: 15=14.5t-4.9t²+1.8

Inga løysing. Ballen når aldri ei høgd på 15 m over bakken.

1.4.13

Overflata til ein brusboks med topp og botn er gitt ved

O=2πr2+2πrh.

Kva er radius til ein brusboks med overflate 250 cm2 og høgd 5 cm?

vis fasit

Vi set inn formelen og får

250=2πr2+2πr·5250=2πr2+10πr

Vi løyser likninga i GeoGebra: 250=2*pi*r²+10*pi*r

r14,29     eller     r2-9,29

Vi kan berre bruke den positive løysinga.

Brusboksen har ein radius på 4,29 cm.

Læringsressursar

Andregradslikningar