Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. LikningarChevronRight
  5. LikningssettChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagstoff

Likningssett

Korleis kan vi løyse likningssett med fleire ukjende storleikar?

To personar kjøper billetter i ei billettluke. Foto.
Billettpris?

Ein familie som består av tre barn og to vaksne, betaler 380 kroner for å kome inn på ein fotballkamp.

Ein annan familie med fire barn og tre vaksne betaler 540 kroner. Vi ønskjer å finne ut kva billettprisen er for barn, og kva billettprisen er for vaksne.

La x vere billettprisen i kroner for barn og y billettprisen i kroner for vaksne.

Prisen den første familien betaler gir likninga

3x+2y=380

Dette er ei likning med to ukjende, og det finst mange par av tal for x og y som passar i likninga. Prisen den andre familien betaler gir likninga

4x+3y=540

Det finst òg her mange par av tal for x og y som passar i likninga, men det finst berre eitt par av tal for x og y som passar i begge likningane.

To likningar med dei same to ukjende storleikane blir kalla for eit likningssett. Å løyse eit likningssett går ut på å finne dei verdiane for x og y som passar i begge likningane.

Innsetjingsmetoden

Ein metode for å løyse eit likningssett ved rekning er innsetjingsmetoden.

Når vi bruker denne metoden, byrjar vi med å finne eit uttrykk for den eine ukjende uttrykt ved den andre ukjende ved hjelp av ei av likningane. I eksempelet vårt kan den første likninga gi

3x+2y = 380      2y=380-3x        y=190-32x

Så set vi dette uttrykket inn for y i den andre likninga, derav namnet innsetjingsmetoden. Hugs å bruke parentesar.

              4x+3y = 5404x+3190-32x=540

På denne måten får vi éi likning med éin ukjend og kan løyse denne.

         4x+570-92x = 5402·4x+2·570-2·92x=2·540                  8x-9x=1080-1140                          x=60

Til slutt set vi denne verdien for x inn i uttrykket vi fann for y

y = 190-32xy=190-32·60y=100

Billettprisen for vaksne er 100 kroner, og billettprisen for barn er 60 kroner.

Vær merksam på at du kan velje både kva for ei likning og kva for ein ukjend du vil starte med. Du kan prøve å velje slik at du unngår brøkar. Då blir utrekninga som oftast enklare.

Ved CAS i GeoGebra kan du også løyse likningssett algebraisk (ved rekning). Vi viser her to måtar dette kan gjerast på.

Likingssett i GeoGebra. Bilete.

I rute 1 har vi brukt kommandoen Løys[<Liste med likningar>,<Liste med variablar>]. Her må du passe på å gje opp listene med klammeparentesar.

Løyse likningssett i GeoGebra. Bilete.

Den kanskje lettaste måten er å skrive inn likningane i kvar si rute, merkje dei grå felta, og så bruke knappen for "å løyse ei eller fleire likningar". Då kjem løysinga i neste rute.

Det finst også andre metodar for å løyse likningssett med rekning.

I neste eksempel skal vi bruke ein metode som blir kalla addisjonsmetoden.

Addisjonsmetoden

Mor til Kari var 32 år då Kari vart fødd. I dag er Kari og mora til saman 64 år.

Kva er alderen til Kari og mora i dag?

Løysing

La x vere alderen til Kari og y alderen til mora.

Kari og mora er til saman 64 år. Dette gir likninga x+y=64.

Kari vart født for x år sidan. Då var mor til Kari 32 år. I dag er mor y år.

Dette gir likninga 32+x=y.

Vi har då

 x+y = 6432+x=y

Vi ordnar likningane og får

x+y = 64x-y=-32

Sidan venstresidene i begge likningane er lik høgresidene, må summen av venstresidene vere lik summen av høgresidene. Vi adderer derfor venstresidene og høgresidene kvar for seg og set dei lik kvarandre.

x+x+y-y = 64-32           2x=32             x=16

No fall ledda med y bort, og likninga med berre x som ukjend gav at Kari er 16 år.

Vi kan no finne ut kor gammal mora er ved å bruke ei av likningane.

  32+x = y32+16=y       y=48

Mora er 48 år.

Vi har altså vist at i dag er mor til Kari 48 år, og Kari er 16 år.

For at vi skal kome i mål med addisjonsmetoden, må ledda med ein av dei ukjende falle bort under addisjonen. Det kan vi som oftast få til å skje ved først å multiplisere likningane i likningssettet med passande tal. Innsetjingsmetoden er likevel den metoden som vi vil tilrå. Den fungerer alltid.

Grafisk løysing

Ein tredje metode å løyse eit likningssett på er grafisk løysing. Ved grafisk løysing bruker vi eit koordinatsystem.

La x vere alderen til Kari og y alderen til mora.

Vi såg tidlegare at oppgåva gir opphav til likningssettet

x+y=6432+x=y

Vi kan no skrive inn kvar av likningane i GeoGebra. Vi får då ein graf som viser samanhøyrande verdiar for x og y.

I GeoGebra er likningane x pluss y er lik 64 og 32 pluss x = y teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå 0 til 80 og y-aksen går frå 0 til 60. Skjeringspunktet A med koordinatane 16 og 48 er markert. Skjermutklipp.

Algebrafeltet i GeoGebra kan då sjå slik ut:

eq1: x+y=64eq2: 32 + x = yA=Skjering(eq1, eq2) (16, 48)

Her har vi skrive inn ei og ei av likningane og fått dei teikna opp. Så har vi brukt verktøyet "Skjering mellom to objekt" (under knappen for nytt punkt i knapperada).

Skjeringspunktet mellom grafane viser at Kari i dag er 16 år, og at mora er 48 år.

Vi kan òg gjere dette utan å bruke eit digitalt verktøy. For kvar av likningane vel vi då nokre verdiar for x og reknar ut den tilhøyrande verdien for y. Så teiknar vi grafane i eit koordinatsystem og finn skjeringspunktet.

Utfordring: Forsøk å løyse likningssettet grafisk utan å bruke eit digitalt verktøy.

Likningssett med tre ukjente

Ein dag kjøpte Sara, Trym og Miriam frukt på torget. Tabellen nedanfor viser kva kvar av dei tre handla, og kva dei måtte betale.

Tal kg morellar

Tal kg jordbær

Tal kg pærer

Pris i kroner

Sara

2

3

1

370

Trym

3

2

3

450

Miriam

3

1

1

330

Vi skal no sjå at vi kan rekne ut kiloprisen for dei einskilde fruktslaga ved å setje opp og løyse eit likningssett med tre likningar.

Vi lar x vere kiloprisen på morellar, y kiloprisen på jordbær og z kiloprisen på pærer. Då kan vi setje opp følgjande tre likningar ut frå opplysningane i tabellen.

i)    2x+3y+z=370ii)   3x+2y+3z=450iii)  3x+y+z=330

Det er ofte lurt å nummerere likningane!

Vi bruker metoden med innsetjing og løyser likning iii) med omsyn på z.

iii) z=330-3x-y

Så set vi dette uttrykket for z inn kvar av dei to andre likningane.

i)   2x+3y+330-3x-y=370ii)  3x+2y+3·330-3x-y=450

Bord med korger med fersken i forgrunnen og korger med druer og brekkbønner i bakgrunnen. Foto.

Vi ordnar litt på likningane, og får

i)     2x-3y+330-3x-y = 370       2x-3x+3y-y=370-330       -x+2y=40ii)    3x+2y+3·330-3x-y=450       3x+2y+990-9x-3y=450       -6x-y=-540       6x+y=540

No kan vi bruke innsetjingsmetoden for likningssett med to ukjende.

i)   -x+2y = 40          -x=40-2y             x=2y-40  ii)   -6·2y-40-y = -540        -12y+240-y=-540                    13y=780                  y=60

Vi kan då setje dette resultatet inn i likning i) rett ovanfor for å finne x. Til slutt set vi resultata for x og y inn i likning iii) for å finne z.

i) x=2y-40=2·60-40=80ii) z=330-3x-y=330-3·80-60=30

Det betyr at kiloprisen på morellar er 80 kroner, kiloprisen på jordbær er 60 kroner, og kiloprisen på pærer er 30 kroner.

Ved CAS i GeoGebra kan du merkje rutene der du har skrive inn likningane og trykkje på kommandoknappen "Løys ei eller fleire likningar".

Løyse likningssett i GeoGebra. Bilete.

Læringsressursar

Likningar