Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. LikningarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Likningssett

Korleis kan vi løyse likningssett med to ukjende storleikar?

Buying tickets
Billettpris?

Ein familie som består av tre barn og to vaksne betaler 380 kroner for å komme inn på ein fotballkamp.

Ein annan familie med 4 barn og 3 vaksne betaler 540 kroner. Vi ønskjer å finne ut kva billettprisen er for barn og kva billettprisen er for vaksne.

La x vere billettprisen i kroner for barn og y billettprisen i kroner for vaksne.

Prisen den første familien betaler gir likninga

3x+2y=380

Dette er ei likning med to ukjende og det finst mange par av tal for x og y som passar i likninga. Prisen den andre familien betaler gir likninga

4x+3y=540

Det finst også her mange par av tal for x og y som passar i likninga. Men det finst berre eitt par av tal for x og y som passar i begge likningane.

To likningar med dei same to ukjende storleikane, blir kalla for eit likningssett. Å løyse eit likningssett går ut på å finne dei verdiane for x og y som passar i begge likningane.

Ein metode for å løyse eit likningssett ved rekning er innsetjingsmetoden.

Når vi bruker denne metoden, byrjar vi med å finne eit uttrykk for den eine ukjende uttrykt ved den andre ukjende ved hjelp av ei av likningane. I vårt døme kan den første likninga gi

3x+2y = 380      2y=380-3x        y=190-32x

set vi dette uttrykket inn for y i den andre likninga. Hugs å bruke parentesar!

              4x+3y = 5404x+3190-32x=540

På denne måten får vi éi likning med éin ukjend og kan løyse denne.

         4x+570-92x = 5402·4x+2·570-2·92x=2·540                  8x-9x=1080-1140                          x=60

Til slutt set vi denne verdien for x inn i uttrykket vi fann for y

y = 190-32xy=190-32·60y=100

Billettprisen for vaksne er 100 kroner, og billettprisen for barn er 60 kroner.

Vær merksam på at du kan velje både kva for ei likning og kva for ein ukjend du vil starte med. Du kan prøve å velje slik at du unngår brøkar. Da blir utrekninga som oftast enklare.

Ved CAS i GeoGebra kan du også løyse likningssett algebraisk (ved rekning). Vi viser her to måtar dette kan gjerast på.

Likingssett i GeoGebra. Bilete.

I rute 1 under har vi brukt kommandoen «Løys[<Liste med likningar>,<Liste med variablar>]]». Her må du passe på å gje opp listene med klammeparentesar.

Løyse likningssett i GeoGebra. Bilete.

Den kanskje lettaste måten er å skrive inn likningane i kvar si rute, merke de grå felta, og så bruke knappen for «å løyse ei eller fleire likningar». Då kjem løysinga i neste rute.

Det finst også andre metodar for å løyse likningssett med rekning.

I neste døme skal vi bruke ein metode som blir kalla addisjonsmetoden.

Døme

Mor til Kari var 32 år da Kari vart fødd. I dag er Kari og mora til saman 64 år.

Kva er alderen til Kari og mora i dag?

Løysing

La x vere alderen til Kari og y alderen til mora.

Kari og mora er til saman 64 år. Dette gir likninga x+y=64.

Kari vart født for x år sidan. Då var mor til Kari 32 år. I dag er mor y år.

Dette gir likninga 32+x=y.

Vi har då

 x+y = 6432+x=y

Vi ordnar likningane og får

x+y = 64x-y=-32

Sidan venstresidene i begge likningane er lik høgresidene, må summen av venstresidene vere lik summen av høgresidene. Vi adderer difor venstresidene og høgresidene kvar for seg og set dei lik kvarandre

x+x+y-y = 64-32           2x=32             x=16

No fall ledda med y bort, og likninga med berre x som ukjend gav at Kari er 16 år.

Vi kan no finne ut kor gammal mora er ved å bruke ei av likningane.

  32+x = y32+16=y       y=48

Mora er 48 år.

Vi har altså vist at i dag er mor til Kari 48 år, og Kari er 16 år.

For at vi skal komme i mål med addisjonsmetoden, må ledda med ein av dei ukjende falle bort under addisjonen. Det kan vi som oftast få til å skje ved først å multiplisere likningane i likningssettet med passende tal. Innsetjingsmetoden er likevel den metoden som vi vil tilrå. Den fungerer alltid.

I kapitlet om funksjonar skal du sjå at likningssett også kan løysast grafisk.

Læringsressursar

Likningar

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter