Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. LikningarChevronRight
  5. LikningsløysingChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Likningsløysing

Korleis kan vi løyse ei likning med ein ukjend storleik?

Ei likning består av eit likskapsteikn med eit tal eller uttrykk på kvar side. Eit døme er likninga

3+5=8

Ei likning inneheld gjerne ein eller fleire ukjende storleikar symbolisert med bokstavar som til dømes formelen

A=g·h

Det er vanleg å bruke bokstaven x for den ukjende når likninga har éin ukjend storleik. Eit døme er

x+5=8

Å løyse ei likning går ut på å finne ut kva for verdiar x kan ha for at likninga skal vere sann. Til dømes, kva for ein verdi av x i likninga ovanfor gjer uttrykket  x+5  lik talet 8.

Kjenner du igjen oppgåva nedanfor frå barneskolen?

Kva for eit tal skal stå i den tomme ruta?

? + 5 = 8

Metode for å løyse likningar ved rekning

Balansert vektstang med pære og eple. Foto.

I likninga  x+5=8  ser vi umiddelbart at når x er lik talet 3, er venstresida og høgresida like. Likninga har løysinga  x=3.

I likninga  2x-3=9  er det derimot ikkje så enkelt å løyse likninga direkte. Vi treng ein framgangsmåte.

Tenk deg at du har to like tal. Er du samd i dei fire påstandane nedanfor?

  • Dersom vi til to tal som er like adderer det same talet, vil summane vere to like tal. Sidan  9=9, så er  9+3=9+3 .
  • Dersom vi frå to tal som er like subtraherer det same talet, vil differensane vere to like tal. Sidan  9=9, så er  9-5=9-5.
  • Dersom vi har to tal som er like og multipliserer dei med det same talet, vil produkta vere to like tal. Sidan  9=9 , så er  9·3=9·3.
  • Dersom vi har to tal som er like og dividerer dei med det same talet, vil kvotientane vere to like tal. Sidan  9=9 , så er  93=93.

Vi kan altså addere, subtrahere, multiplisere og dividere med same tal på begge sider i ei likning og framleis behalde likskap mellom venstresida og høgresida.

Dette kan vi bruke til å løyse likningar.

Døme


Vi vil løyse likninga  2x-3=9.

Løsning

Forklaring

2x-3+3=9+3

Vi adderer talet 3 på begge sider av likskapsteiknet.

2x=9+3

På venstresida er -3+3=0

2x=12

Like ledd trekkjer vi saman 9+3=12

2x2=1262

Vi dividerer med 2, på begge sider av likskapsteiknet og forkortar

x=6

Vi har løyst likninga.

Legg merke til resultatet av å addere 3 på begge sider: Talet -3 er "flytta" frå venstresida til høgresida, men har skifta forteikn til +3.

Døme

Når vi skal løyse likningar som inneheld brøkar, må vi multiplisere kvart ledd med samnemnaren for å få ei likning utan brøkar.

Vi vil løyse likninga  2x-4=-32-12x.

Løysing

Forklaring

2x-4=-32-12x

Samnemnar er 2x

2x·2x-4·2x=-32·2x-12x·2x 

Vi multipliserer alle ledd med 2x og forkortar.

4-8x=-3x-1 

Vi er kvitt brøkane

4-8x-4+3x=-3x-1-4+3x

Nå ønskjer vi å samle alle ledd med x på venstresida. Dei andre ledda samlar vi på høgre side. Dette gjer vi ved å subtrahere 4 og addere 3x på begge sider.

-8x+3x=-1-4

Legg merke til at 4 frå venstresida no er -4 på høgresida og at -3x frå høgresida no er +3x på venstresida.
Vi har no samla alle ledda med x på venstre side av likskapsteiknet. Dei andre ledda er samla på høgre side.

-5x = -5-5x-5=-5-5

Vi trekkjer saman like ledd og dividerer med -5 på begge sider.

x=1

Vi har løyst likninga.

Løyse likningar i GeoGebra. Bilete.

Vi kan også løyse likningar ved CAS i GeoGebra.
For eksakte løysingar klikker vi på knappen "Løys" x  =.

For tilnærma løysingar klikkar vi på "NLøys" x  .

Døme

Når likningane inneheld parentesuttrykk, byrjar vi med å løyse opp parentesane.

x-2x-3 = -2    x-2x+6=-2           x-2x=-2-6              -x-1=-8-1                   x=8

Frå linje 2 til linje 3 er talet 6 subtrahert på begge sider. Legg også merke til divisjonen med −1.

Oppsummering

Framgangsmåten for å løyse likningar blir då:

  1. Dersom likninga inneheld parentesar, må vi først løyse opp desse.
  2. Dersom likninga inneheld brøkar, må vi multiplisere alle ledd med samnemnaren.
  3. Vi adderer og/eller subtraherer med same tal på begge sider av likskapsteiknet. Resultatet blir at ledd «blir flytta» frå den eine sida av likskapsteiknet til den andre sida, og leddet skiftar forteikn. Føremålet er å samle alle ledd som inneheld x på den eine sida av likskapsteiknet, og alle ledd som berre består av tal på den andre sida.
  4. Vi trekkjer saman ledda.
  5. Til slutt dividerer vi med talet framfor x på begge sider.

Du kan bruke CAS-verktøyet i GeoGebra for å løyse ei likning.

GeoGebra likning
  • Skriv inn likninga i felt 1.
  • Trykk knappen «Løys» (markert med blå penn) for å få løysinga av likninga.

Læringsressursar

Likningar

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter