Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. Algebraiske uttrykkChevronRight
  5. KvadratsetninganeChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Kvadratsetningane

Kvadratsetnngane er særs sentrale i algebra.

Tidligare såg vi korleis vi multipliserer to parentesuttrykk med kvarandre.

Generelt har vi at

Kvadratsetningene

a+b·c+d=ac+ad+bc+bd

Korleis blir resultatet dersom parentesuttrykka er like eller nesten like?

Når vi multipliserer a+b med seg sjølv, får vi kvadratet a+b2.

a+b2 = a+b·a+b         =a·a+a·b+b·a+b·b         =a2+ab+ab+b2         =a2+2ab+b2

Når vi multipliserer ut parentesane, får vi to like ledd, ab+ab, som vi slår saman til 2ab.

Geometrisk ser du at arealet av det store kvadratet ovanfor med sidelengder a+b er lik summen av areala av dei to like store lyse rektangla og dei to mørke kvadrata.

Kvadratsetningene

Dette resultatet er kjent som den første kvadratsetninga.

Første kvadratsetning

a+b2=a2+2ab+b2

Kvadratsetningene

Vi multipliserer vidare a-b med seg sjøv og får kvadratet a-b2.

a-b2 = a-b·a-b         =a·a-a·b-b·a+b·b         =a2-ab-ab+b2         =a2-2ab+b2

Her får vi to like ledd,-ab-ab , som vi slår saman til -2ab.

Kvadratsetningene

Ser du at vi kan illustrere dette geometrisk dersom vi tar utgangspunkt i eit kvadrat med sider a?

Dette resultatet er kjent som den andre kvadratsetninga.

Andre kvadratsetning

a-b2=a2-2ab+b2

Vi multipliserer så a+b med a-b.

a+b·a-b = a·a-a·b+b·a-b·ba+b·a-b=a2-ab+ab-b2a+b·a-b=a2-b2

Her får vi ledda ab og -ab, som til saman blir lik null og fell bort.

Ser du at vi kan illustrere dette også geometrisk ved å starte med eit kvadrat med sidekantar a?

a2-b2 svarar til det lyse området i den første figuren nedanfor.

Kvadratsetningene

Dersom vi så tenkjer oss at vi flyttar rektangelet som er merkt med ei stjerne, ser vi at det lyse området også svarar til a+ba-b.

Kvadratsetningene

Dette resultatet er kjent som konjugatsetninga eller også som den tredje kvadratsetninga.

Konjugatsetninga (Tredje kvadratsetning)

a+b·a-b=a2-b2

No er det lett å falle for freistinga til å la vere å pugge
kvadratsetningane og heller multiplisere kvart ledd i den eine parentesen med kvart ledd i den andre parentesen. Det vil ikkje vere særleg lurt.

Kvadratsetningane er nemleg spesielt nyttige til å faktorisere andregradsuttrykk, og då må du bruke dei «motsett veg».

Døme på bruk av kvadratsetningane

4x+22 + 2x-32-3x-2x+2=4x2+2·x·2+22+2x2-2·2x·3+32-3x2-22=4x2+4x+4+4x2-12x+9-3x2-4=4x2+16x+16+4x2-12x+9-3x2-12=4x2+16x+16+4x2-12x+9-3x2+12=5x2+4x+37

Regne med kvadratsetningene i Geogebra. Bilde.

Ved CAS i GeoGebra

Læringsressursar

Algebraiske uttrykk

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter