1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. Tal og algebraChevronRight
  4. FaktoriseringChevronRight
  5. Fullstendige kvadratChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Fullstendige kvadrat

Kva er eit fullstendig kvadrat, og korleis kan vi faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrat?

Fullstendig kvadrat

Eit fullstendig kvadrat er eit andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

Til dømes er uttrykket  x2-6x+9  eit fullstendig kvadrat fordi

x2-6x+9=x-32

Første og andre kvadratsetning

a+b2=a2+2ab+b2

a-b2=a2-2ab+b2

Korleis kan vi sjå om eit andregradsuttrykk er eit fullstendig kvadrat?

Vi bruker uttrykket  x2-6x+9  som døme.

  1. Første føresetnad er at andregradsleddet og konstantleddet er kvadratiske uttrykk med positivt forteikn. Det stemmer her, og vi finn at  a=x2=x  og  b=9=3.
  2. Vidare må «det dobbelte produktet», det vil seie  2ab, vere lik  6x . Vi sjekkar:  2ab=2·x·3=6x. Det stemmer.
  3. Førstegradsleddet er negativt. Det tyder at vi kan bruke andre kvadratsetning.
    Då er  x2-6x+9=x-32, og vi har eit fullstendig kvadrat.

Oppgåve

Undersøk om  x2+8x+16  og  x2-5x+25  er fullstendige kvadrat.

Å lage fullstendige kvadrat

Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrat. Men det er mogleg å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendig kvadrat og så bruke konjugatsetninga.

Konjugatsetninga

a+ba-b=a2-b2

Vi skal sjå på to døme der vi bruker denne metoden.

Døme 1

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket x2+4x-5.

  1. Andregradsleddet er eit kvadratuttrykk, x2. Det gir  a=x2=x.
  2. Konstantleddet, 5, er ikkje eit kvadrattal med positivt forteikn.
    Vi legg til og trekkjer frå kvadrattalet b2 til uttrykket, og får
    x2+4x-5 =x2+4x+b2Fullstendig kvadrat-b2-5
    Dette gjer vi for å lage eit fullstendig kvadrat av de tre første ledda.
  3. Vi må ha  2ab=4x. Vi kan då finne b.
    2ab = 4xb=4x2a=4x2x=2
  4. Vi får då
    x2+4x-5 = x2+4x+22-4-5        Vi legger til og trekkjer fråFullstendig kvadrat                    =(x+2)2-9      Fullstendig kvadrat etter 1. kvadratsetning                    =(x+2)2-32       Vi bruker konjugatsetninga                    =((x+2)+3)·((x+2)-3)                    =(x+5)·(x-1)

Vi har no faktorisert andregradsuttrykket og fått

x2+4x-5=x+5·x-1.

Døme 2

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket  2x2-8x-42.

  1. Her er ikkje andregradsleddet eit kvadratuttrykk. Men når vi set faktoren 2 utanfor ein parentes, får vi eit uttrykk der andregradsleddet er eit kvadratuttrykk
    2x2-8x-42 = 2x2-4x-21
  2. Vi faktoriserer parentesuttrykket. Andregradsleddet er x2. Det gir a = x2=x.
  3. Konstantleddet, 21, er ikkje eit kvadrattal med positivt forteikn.
    Vi legg til og trekkjer frå kvadrattalet b2 til uttrykket, og får x2-4x-21 =x2-4x+b2Fullstendig kvadrat-b2-21
  4. Vi må ha  2ab=4x. Vi kan då finne b.

    2ab = 4x4x2a=4x2x=2
  5. Vi får då
    x2-4x-21 = x2-4x+22-4-21        Vi legger til og trekkjer frå 22Fullstendig kvadrat                    =(x-2)2-25      Fullstendig kvadrat etter 2. kvadratsetning                    =(x-2)2-52       Vi bruker konjugatsetninga                    =((x-2)+5)·((x-2)-5)                    =(x+3)·(x-7)

Vi har no faktorisert andregradsuttrykket og fått

2x2-8x-42=2x2-4x-21=2x+3x-7

Metode for å faktorisere uttrykk ved kvadratsetningane

  • Dersom andregradsleddet ikkje er eit kvadratisk uttrykk, set vi faktoren framfor andregradsleddet utanfor ein parentes
  • Vi lagar så eit fullstendig kvadrat av parentesuttrykket ved å legge til eit kvadratisk uttrykk slik at andregradsleddet, førstegradsleddet og det vi har addert no utgjer eit fullstendig kvadrat. Vi trekkjer samtidig frå det kvadratiske uttrykket for at uttrykket ikkje skal endre verdi
  • Vi bruker så konjugatsetninga til å faktorisere uttrykket dersom dette er mogleg. Det vil seie dersom talet etter det fullstendige kvadratet er negativt

Læringsressursar

Faktorisering