1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. FunksjonarChevronRight
  4. Ikkje-linære funksjonstyparChevronRight
  5. Andregradsfunksjonar, introduksjonChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Andregradsfunksjonar, introduksjon

Vi skal sjå på nokre praktiske eksempel på andregradsfunksjonar.

I lineære funksjonar opptrer variabelen x berre i første potens. I nokre funksjonar opptrer x i andre potens. Det vil seie at vi har ledd som inneheld x2. Vi kallar difor slike funksjonar for andregradsfunksjonar.

Vi skal sjå på nokre praktiske eksempel på andregradsfunksjonar.

Eksempel

Gå saman med nokre medelevar og bruk eit tau som er litt over 12 meter langt. Bind saman endane og form tauet til eit rektangel som figuren viser. Omkrinsen av rektangelet skal vere 12 m.

Mål sidelengder og rekn ut arealet av rektangla de får når den eine sidelengda, x, er 0, 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 meter.

  • Omkrets av rektangel
    Noter resultata i ein verditabell, og plott punkta i eit koordinatsystem.
  • Klarer du å finne ein formel for arealet av firkanten når du kallar to av sidene for x?
  • Teikn grafen
  • Kva er det maksimale arealet firkanten kan få?
  • Kva fortel grafen sitt skjeringspunkt med x-aksen?

Dersom du ikkje ønskjer å gjere oppgåva sjølv, kan du studere løysinga.

Løysing

For kvar verdi av x får vi eit bestemt rektangel med eit bestemt areal. Vi har altså at arealet til rektangelet er ein funksjon av x. Omkrinsen av rektangelet er 12 m. To og to sider er like lange, slik at vi berre har to ulike sidelengder. Vi kallar desse for høvesvis grunnlinje og høgd. Grunnlinja og høgda må til saman vere halve omkrinsen, slik at når grunnlinja er x, så må høgda vere 6-x .

Funksjonen representert ved ein verditabell:

Grunnlinja i meter x 0 1
2
3
4
5
6
Høgda i meter 65
4
3
2
1
0
Areal av rektangel i m2 A(x)
0 5 8 9 8 5 0

I nederste linje har vi rekna ut arealet av rektangelet for dei ulike verdiane av x. Dette blir, som vi skal sjå, ein funksjon av x, og vi kallar han A(x).

Toppunkt andregradsfunksjon

Vi har plotta punkta frå verditabellen i eit koordinatsystem der førstekoordinaten er lengda av grunnlinja og andrekoordinaten er arealet av det tilhøyrande rektangelet.

Vi kan også representere arealfunksjonen A(x) ved ein formel:

Ax = x·6-x=6x-x2

Vi ser at vi har ein andregradsfunksjon.

Vi teiknar grafen av funksjonen i same koordinatsystem, og ser at grafen går gjennom punkta som vi plotta frå verditabellen.

Grafen har eit toppunkt, eit punkt der funksjonen har sin maksimale verdi. Det vil seie at det største arealet rektangelet kan få er 9 m2.

Nullpunkt. Når grafen skjer førsteaksen, er grunnlinja anten 0 eller 6 meter. Vi får då ikkje noko reelt rektangel, og arealet blir 0.

Eksempel

Prekestolen i Rogaland. Foto.
Preikestolen i Rogaland

Preikestolen er eit fjellplatå i Rogaland som ragar ca. 600 meter over Lysefjorden. Fjellveggen frå Preikestolen ned til fjorden er nesten loddrett.

Tenk deg at du står på kanten av Preikestolen og kastar ein stein rett opp i lufta med utgangsfart 25 m/s. På nedturen passerer steinen på utsida av platået og hamnar i Lysefjorden.

Naturlovene fortel oss at høgda h til steinen er ein funksjon av tida og er tilnærma gitt med funksjonsuttrykket

ht=25t-5t2

Her står t for tida i sekund etter at steinen blei kasta.

Graf over endring i høyde til fallende gjenstand. Bilde.

Høgdefunksjonen er ein andregradsfunksjon fordi variabelen t er i andre potens.

Vi teiknar grafen til funksjonen dei første 20 sekunda ved å skrive «h(t)=Funksjon[25t-5t^2, 0, 20]».

Vi finn toppunktet til dømes ved kommandoen «Ekstremalpunkt[h]». Det viser at steinen når sitt høgaste punkt 31,3 meter over platået etter 2,5 sekund.

Vi finn punktet B10, -250 ved å skrive «(10,h(10))». Det viser at steinen passerer 250 meter under platået etter 10 sekund.

Vi teiknar linja y=-600 og finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til dømes ved kommandoen «Skjering mellom to objekt». Vi får skjeringspunktet C13.7, -600, som viser at steinen treff Lysefjorden etter 13,7 sekund.

Vi finn nullpunkta D0, 0 og E5, 0 til dømes ved kommandoen «Nullpunkt[h]». Det viser at steinen forlèt platået ved tida null og passerer platået på vegen ned etter 5 sekund.  

Eksempel

Ei bedrift produserer x einingar av ei vare per dag. Funksjonen K gitt ved

Kx=0,25x2+500

viser kostnadene (kroner) ved produksjon av x einingar.

Bedrifta kan maksimalt produsere 200 einingar per dag. Dei produserte einingane blir selde for 45 kroner per stk. Inntektene er då gitt ved

Ix=45x

Overskotet er differensen mellom inntekter og kostnader, og overskotsfunksjonen O er difor gitt ved

Ox=Ix-Kx.

Figuren viser grafane av K, I og O.

Graf over kostnad, inntekt og overskudd. Bilde.

Skjeringspunkta A(11.9, 535.39) og B(168.1, 7564.61) mellom grafane av K og I viser at kostnadene er like store som inntektene ved produksjon av 12 einingar og ved produksjon av 168 einingar. Overskotet er då lik null, og grafen av O har nullpunkt for x=12 og x=168.

Bedrifta går med overskot når det produserast mellom 12 og 168 einingar. Ved produksjon av mindre enn 12 einingar eller fleire enn 168 einingar er kostnadene større enn inntektene, og overskotet er negativt. Bedrifta taper pengar.

Grafen av O har toppunktet E(90, 1525). Bedrifta oppnår maksimalt overskot ved å produsere 90 einingar per dag. Overskotet per dag er då 1525 kroner.

Læringsressursar

Ikkje-linære funksjonstypar

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter