1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 2ChevronRight
  5. CosinussetningaChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Cosinussetninga

Vi skal no bli kjende med ei setning som i enda større grad enn sinussetninga gjer oss i stand til å finne sidelengder og vinklar i trekantar som ikkje er rettvinkla. Provet for setninga kjem etter eksempla.

Gitt ein trekant ABC. Følgjande setning gjeld

Cosinussetninga (Den utvida pytagoreiske setninga)

a2=b2+c22bc cosA
Trekant
I ein trekant er kvadratet av ei side alltid lik summen av kvadrata av de to andre sidene minus to gonger produktet av desse sidene og cosinus til deira mellomliggjande vinkel.
Vi kan altså også skrive setninga på følgjande to andre måtar
b2 = a2+c2- 2ac cosB c2 = a2+b2 2ab cosC

Vi kan også bruke cosinussetninga til å finne vinklar. Det er da lurt å snu på formelen slik som vist nedanfor.

            a2 = b2+c2-2·b·c·cosA2·b·c·cosA=b2+c2-a2        cosA=b2+c2-a22·b·c

Dei andre vinklane blir då

cosB = a2+c2-b22·a·ccosC=a2+b2-c22·a·b

Eksempel

hjelpefigur

Figuren viser ein trekant ABC .

Rekn ut sida a når b=3,5 cm, c=5,5 cm og A = 35°.

Løysing

a opphøgd i andre \

a=3,3 cm

Eksempel

hjelpefigur

Figuren viser ein trekant ABC.

Rekn ut B når du veit at a=3,3 cm, b=3,5 cm og c=5,5 cm.

Løysing

3 komma 5 opphøyd i andre \

B=37,3o

I det siste eksemplet er det berre cosinussetninga som gir løysing på problemet. Sinussetninga kan ikkje brukast her.

Når du bruker cosinussetninga til å finne vinklar, får du alltid berre éi løysing. Dersom du bruker sinussetninga, får du to løysingar, og du må sjølv vurdere kva for verdiar som passar i den aktuelle trekanten.

hjepefigur

Prov for cosinussetninga

Vi lar først A<90°.

Vi bruker Pytagoras læresetning på figuren

a2 = h2+c-x2a2 = h2+c2-2·c·x+x2a2 = h2+x2+c2-2·c·x

Sidan h2+x2=b2 og cos A=xb dvs x=b·cos A så er

a2 = b2+c2-2c·b·cos Aa2 = b2+c2-2b·c·cos A

hjelpefigur

Vi lar så A>90°.

Vi bruker Pytagoras’ læresetning på figuren

a2 = h2+c+x2a2 = h2+c2+2cx+x2a2 = h2+x2+c2+2·c·x

Vi har at h2+x2=b2 og cos180o-A=xb

cos180o-A = -cosA-cosA=xbx=-b·cosAa2=b2+c2+2c·-b cosAa2=b2+c2-2bc cosA

Vi lar så A=90°.

Da er cosA=0 og vi får Pytagoras’ setning a2=b2+ c2.

Vi skjønar då kvifor cosinussetninga også blir kalla den utvida pytagoreiske setninga.

Læringsressursar

Trigonometri 2