Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 2ChevronRight
  5. CosinussetningaChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Cosinussetninga

Vi skal no bli kjende med ei setning som i enda større grad enn sinussetninga gjer oss i stand til å finne sidelengder og vinklar i trekantar som ikkje er rettvinkla. Provet for setninga kjem etter eksempla.

Gitt ein trekant ABC. Vinkel A har motståande side a, og det er tilsvarande for dei andre vinklane. Følgjande setning gjeld:

Cosinussetninga (Den utvida pytagoreiske setninga)

a2=b2+c22bc cosA
Trekant A B C der vinkel stor A har motståande side liten a. Det er tilsvarande for dei andre vinklane. Illustrasjon.
I ein trekant er kvadratet av ei side alltid lik summen av kvadrata av dei to andre sidene minus to gonger produktet av desse sidene og cosinus til den mellomliggjande vinkelen deira. Vi kan derfor også skrive setninga på følgjande to andre måtar:
b2 = a2+c2- 2ac cosB c2 = a2+b2 2ab cosC

Vi kan bruke cosinussetninga til å finne både sider og vinklar. Når vi skal finne vinklar, kan det vere lurt å snu på formelen slik som vist nedanfor.

            a2 = b2+c2-2·b·c·cosA2·b·c·cosA=b2+c2-a2        cosA=b2+c2-a22·b·c

Dei andre vinklane blir då

cosB = a2+c2-b22·a·ccosC=a2+b2-c22·a·b

Skal vi bruke GeoGebra til å løyse oppgåvene, treng vi ikkje snu på formelen.

Eksempel 1

Figuren viser ein trekant ABC .

Trekant A B C der sida A B er 5,5 centimeter, sida A C er er 3,5 centimeter og vinkel A er 35 grader. Illustrasjon.
Trekant

Rekn ut sida BC når sida AC er 3,5 cm, sida AB er 5,5 cm og  A = 35°.

Løysing

Vi bruker varianten av cosinussetninga med vinkel A, sidan det er den vinkelen som er oppgitt, og løyser med GeoGebra.

a2= b2+c22bc cosA

a2=3.52+5.52-2·3.5·5.5·cos35°1NLøys:  {a=-3.3, a=3.3}

a=3,3 cm

Kommentar

I dette eksempelet kunne vi ha klart oss med sinussetninga ved først å bruke ho til å finne vinkel B eller vinkel C. Deretter bruker vi sinussetninga på nytt for å finne sida a. Prøv!

Eksempel 2

Figuren viser ein trekant ABC.

Trekant A B C med sider A B lik 5,5 centimeter, A C lik 3,5 centimeter og B C lik 3,3 centimeter. Illustrasjon.
Trekant

Rekn ut B når du veit at a=3,3 cm, b=3,5 cm og c=5,5 cm.

Løysing

Vi bruker varianten av cosinussetninga med vinkel B sidan det er denne vinkelen det er spurt etter og løyser med GeoGebra.

3.52=3.32+5.52-2·3.3·5.5·cosB°1NLøys:  {B=-37.26, B=37.26}

B=37,3°

Kommentar

I dette eksemplet er det berre cosinussetninga som gir løysing på problemet. Kvifor kan ikkje sinussetninga brukast her?

Når vi bruker cosinussetninga til å finne vinklar, får vi alltid berre éi løysing. Dersom vi bruker sinussetninga til å finne vinklar, får vi to løysingar, og vi må sjølv vurdere kva for verdiar som passar i den aktuelle trekanten.

Prov for cosinussetninga

Vi let først vinkel A vere mindre enn 90 grader.

Trekant A B C med normal frå C ned på sida A B. Vinkel A er mindre enn 90 grader. Illustrasjon.

Vi har ein trekant ABC der vi har markert høgda h (normalen) frå C ned på sida c (eller AB). Høgda h deler trekanten i to rettvinkla trekantar. Vi bruker Pytagoras si læresetning på begge trekantane, først den til høgre.

a2 = h2+c-x2a2 = h2+c2-2·c·x+x2a2 = h2+x2+c2-2·c·x

Pytagoras si læresetning på trekanten til venstre gir

h2+x2=b2

I tillegg har vi at  cosA=xb, dvs.  x=b·cosA. Då får vi

a2 = b2+c2-2·c·b·cosAa2=b2+c2-2·b·c·cosA

Så let vi vinkel A vere større enn 90 grader.

Trekant A B C med normal frå C ned på forlenginga av sida A B på grunn av at vinkel A er større enn 90 grader. Illustrasjon.

Vi bruker Pytagoras si læresetning på den store, rettvinkla trekanten (heile figuren) med sider h, c + x og a.

a2 = h2+c+x2a2 = h2+c2+2cx+x2a2 = h2+x2+c2+2·c·x

Så bruker vi Pytagoras si læresetning på den vesle, rettvinkla trekanten (deler av figuren) med sider h, x og b. Då får vi

h2+x2=b2

I tillegg har vi at

cos180°-A=xb

Her skulle vi helst ha hatt cosinus til A åleine. Frå sida To vinklar – same sinusverdi har vi at

cos180°-A = -cosA-cosA=xbx=-b·cosA

Då får vi

a2 = b2+c2+2c·-b cosAa2 = b2+c2-2bc cosA

Til slutt let vi vinkel A vere lik 90 grader.

Då er cosA=0 , og vi får Pytagoras si setning  a2=b2+ c2  både ut i frå cosinussetninga og figuren.

Vi skjønar då kvifor cosinussetninga også blir kalla den utvida pytagoreiske setninga.

Vi har med dette prova at cosinussetninga gjeld for alle trekantar.

Læringsressursar

Trigonometri 2