Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 2ChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Sinussetninga

Vi skal no bli kjende med ei setning som gjer oss i stand til å finne sidelengder og vinklar i trekantar som ikkje er rettvinkla.

Gitt ein trekant ABC. Følgjande setning gjeld

sider og  vinkler i en trekant

Sinussetninga

sinAa=sinBb=sinCc

Forholdet mellom sinus til ein vinkel og lengda av motståande side er lik for alle vinklane i trekanten.

Prov for sinussetninga

Vi skal no prove sinussetninga ved å skrive opp formelen for arealet av ΔABC ut frå kvar av dei tre vinklane.

Sinussetningea

Sett frå hjørnet A blir arealet av ΔABC lik 12·b·c·sinA.
Sett frå hjørnet B blir arealet av ΔABC lik 12·a·c·sinB.
Sett frå hjørnet C blir arealet av ΔABC lik 12·a·b·sinC.

Desse areala MÅ jo vere like store, og vi set

12·b·c·sinA = 12·a·c·sinB=12·a·b·sinC2·12·b·c·sinA=2·12·a·c·sinB=2·12·a·b·sinCb·c·sinA=a·c·sinB=a·b·sinCb·c·sinAa·b·c=a·c·sinBa·b·c=a·b·sinCa·b·cb·c·sinAa·b·c=a·c·sinBa·b·c=a·b·sinCa·b·csinAa=sinBb=sinCc

Dette må gjelde for alle trekantar!

Eksempel

Figuren viser ein trekant ABC.

HJeplefigur
  1. Rekn ut A når a=3,0 cm, b=5,5 cm og B=60°.

    Løysing

    sinus til A gradar delt på 3 komma 0 \


    Med A=151,8° blir vinkelsummen i trekanten større enn 180° fordi 151,8°+60°=211,8°. Vi får då ikkje nokon trekant. Løysinga A=151,8° kan difor ikkje brukast.

    A=28,2°

  2. Finn sida c.

    Løysing

    sinus til 180 gradar minus 60 gradar minus 28 komma 2 gradar delt på c \
    c=6,3 cm

Legg merke til:

Når vi finn vinklar med sinussetninga, fører rekninga til to mogelege verdiar for vinkelen.

I kvar enkelt oppgåve må vi vurdere om begge svara kan brukast.

Vi utelukkar eventuelt vinklar ved å bruke at

  • Vinkelsummen i ein trekant skal vere 180°
  • Den største vinkelen skal ha lengst motståande side
  • Den minste vinkelen skal ha kortast motståande side

Læringsressursar

Trigonometri 2