Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 2ChevronRight
  5. SinussetningaChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Sinussetninga

Vi skal no bli kjende med ei setning som gjer oss i stand til å finne sidelengder og vinklar i trekantar som ikkje er rettvinkla.

Gitt ein trekant ABC. Følgjande setning gjeld

sider og  vinkler i en trekant

Sinussetninga

sinAa=sinBb=sinCc

Forholdet mellom sinus til ein vinkel og lengda av motståande side er lik for alle vinklane i trekanten.

Prov for sinussetninga

Vi skal no prove sinussetninga ved å skrive opp formelen for arealet av ΔABC ut frå kvar av dei tre vinklane.

Sinussetningea

Sett frå hjørnet A blir arealet av ΔABC lik 12·b·c·sinA.
Sett frå hjørnet B blir arealet av ΔABC lik 12·a·c·sinB.
Sett frå hjørnet C blir arealet av ΔABC lik 12·a·b·sinC.

Desse areala MÅ jo vere like store, og vi set

12·b·c·sinA = 12·a·c·sinB=12·a·b·sinC2·12·b·c·sinA=2·12·a·c·sinB=2·12·a·b·sinCb·c·sinA=a·c·sinB=a·b·sinCb·c·sinAa·b·c=a·c·sinBa·b·c=a·b·sinCa·b·cb·c·sinAa·b·c=a·c·sinBa·b·c=a·b·sinCa·b·csinAa=sinBb=sinCc

Dette må gjelde for alle trekantar!

Eksempel

Figuren viser ein trekant ABC.

HJeplefigur
  1. Rekn ut A når a=3,0 cm, b=5,5 cm og B=60°.

    Løysing

    sinus til A gradar delt på 3 komma 0 \


    Med A=151,8° blir vinkelsummen i trekanten større enn 180° fordi 151,8°+60°=211,8°. Vi får då ikkje nokon trekant. Løysinga A=151,8° kan difor ikkje brukast.

    A=28,2°

  2. Finn sida c.

    Løysing

    sinus til 180 gradar minus 60 gradar minus 28 komma 2 gradar delt på c \
    c=6,3 cm

Legg merke til:

Når vi finn vinklar med sinussetninga, fører rekninga til to mogelege verdiar for vinkelen.

I kvar enkelt oppgåve må vi vurdere om begge svara kan brukast.

Vi utelukkar eventuelt vinklar ved å bruke at

  • Vinkelsummen i ein trekant skal vere 180°
  • Den største vinkelen skal ha lengst motståande side
  • Den minste vinkelen skal ha kortast motståande side

Læringsressursar

Trigonometri 2