Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 2ChevronRight
  5. Sinus, cosinus og tangens til vinklar større enn 90°ChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Sinus, cosinus og tangens til vinklar større enn 90°

Her innfører vi ein ny definisjon av dei trigonometriske funksjonane sinus, cosinus og tangens som gjeld sjølv om vinklane blir større enn 90°.

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til ein vinkel

Vinkel v åleine og vinkel v med motståande katet slik at hypotenusen blir 1. Illustrasjon.

Vi startar med ein vinkel v som er mindre enn 90°, slik som på figuren over. Vi opprettar så motståande katet, slik at vi får ein rettvinkla trekant med hypotenus lik 1. Vi kallar katetane for a og b.

Vi får

sinv = Motståande katetHypotenus=b1=b cosv=Hosliggjande katetHypotenus=a1=a

Koordinatsystem med einingssirkel med punkt P i første kvadrant slik at P får koordinatane cosinus v og sinus v der v er vinkelen mellom positiv x-akse og linjestykket frå origo til P. Illustrasjon.
Einingssirkel med punkt 𝑃.

Vi legg eit koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen, slik at vinkelen sitt høgre bein blir liggjande langs x-aksen. Vi legg vidare ein sirkel med radius 1 og sentrum i origo. Vi kallar sirkelen for einingssirkelen.

Vi kallar skjeringspunktet mellom einingssirkelen og venstre vinkelbein til v for P.

Vi kallar vidare koordinatane til punktet P for (a, b).

Vi får då at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til P,  cosv=a, og at sinus til v blir lik andrekoordinaten til P,  sinv=b.

Det betyr at  P=(cosv, sinv).

Vi ser også at  tanv=ba=sinvcosv  når  cosv0

Ettersom avstanden frå origo til P er lik 1, har vi også på grunn av Pytagoras si setning at kvadratet av sinv pluss kvadratet av cosv er lik 1.

sinv2+cosv2=1

Vi kan no definere sinus, cosinus og tangens til ein generell vinkel v.

Einingssirkelen. Illustrasjon.

Plasser vinkel v i eit koordinatsystem saman med einingssirkelen. Sjå figuren til høgre.



La P vere skjeringspunktet mellom vinkelen sitt venstre vinkelbein og einingssirkelen.



Vi får

cosv= førstekoordinaten til P

sinv = andrekoordinaten til P



Vi får også at

tanv=sinvcosv  når  cosv0


Vi har no ein definisjon som også gjeld for vinklar som er større enn 90°.

Prøv sjølv!

Dra i glidebrytaren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedanfor. Observer kva som skjer.

Filer

Aktivitetar til den interaktive einingssirkelen

Bruk den interaktive einingssirkelen når du svarer på spørsmåla.

Oppgåve 1

Kan sin𝑣 og cos𝑣 ha negative verdiar?

Løysing

Dersom vi drar glidebrytaren over heile området, får vi at sin 𝑣 alltid er større enn eller lik null. Dette gjeld så lenge vinkelen 𝑣 er innanfor intervallet frå 0 grader til 180 grader.

Vi får vidare at cos 𝑣 er større enn null når vinkelen 𝑣 er mellom 0 og 90 grader og mindre enn null når vinkelen er mellom 90 grader og 180 grader.

Matematisk:

sinv0  når  0°v180°

cosv0  når  0°v90°

cosv0  når  90°v180°

Oppgåve 2

Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne cos 120°.

Løysing

cos 120° = – 0,5

Oppgåve 3

Kan du finne to vinklar som har sinusverdi lik 0,5?

Løysing

Ved å dra i glidebrytaren får vi at

sin30°=sin150°=0,5

Vi observerer at når vinkelen aukar frå 0 grader til 90 grader, aukar verdien for sin 𝑣 frå 0 til 1. Når vinkelen aukar vidare frå 90 grader til 180 grader, minkar verdien for sin 𝑣 frå 1 til 0. Det må bety at det finst to vinklar som har same sinusverdi i dette området, éin vinkel mellom 0 grader og 90 grader og éin vinkel mellom 90 og 180 grader. Dette kan du finne ut meir om på sida To vinklar – same sinusverdi.

Læringsressursar

Trigonometri 2