Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 2ChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Cosinussetninga

I oppgåvene nedanfor kan du bruke alle hjelpemiddel dersom det ikkje står noko anna.

2.7.16

Gitt ein trekant ABC med sider a, b og c.

Trekant. Illustrasjon.

a) Rekn ut a når b=5,0 cm, c=7,0 cm og A=39°.

vis fasit

Set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga og løyser i GeoGebra.

a^2=5.0^2+7.0^2-2*5.0*7.0*cos39°

a2=52+72-2·5·7cos39°

a^2=5.0^2+7.0^2-2*5.0*7.0*cos39°

NLøys a=-4.43, a=4.43

Vi ser bort frå den negative løysinga.

Sida a=4,4 cm.

b) Rekn ut b når a=8,7 dm, c=12,3 dm og B=115,5°.

Trekant. Illustrasjon.
vis fasit

Set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga og løyser i GeoGebra.

b^2=8.7^2+12.3^2-2*8.7*12.3*cos115.5°

NLøys b=-17.86, b=17.86

Sida b=17,9 dm.

c) Rekn ut c når a=2,3 cm, b=4,5 cm og C=23,6°.

Trekant. Illustrasjon.
vis fasit

Set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga og løyser i GeoGebra:

c^2=2.3^2+4.5^2-2*2.3*4.5*cos(23.65°)

NLøys c=-2.56, c=2.56

Sida c=2,6 cm.

2.7.17

Gitt ein trekant ABC, sjå figuren.

Trekant. Illustrasjon.

Rekn ut vinklane i trekanten.

vis fasit

Vi set opp likningar med utgangspunkt i cosinussetninga for vinkel A og for vinkel B og løyser i GeoGebra.

6.0^2=14^2+19^2-2*14*19*cosA°

NLøys A=11.67

14^2=6.0^2+19^2-2*6.0*19*cosB°

NLøys B=28.17

A = 11,7°B=28,2°C=180°-11,7°-28,2°=140,1°

2.7.18

Vi skal grave ein kanal frå Båly, B, til Lehnesfjorden, L. Vi står på ei høgd, H, slik at vi kan sjå både B og L, og gjer målingar som vist på figuren til høgre.

Trekant med vinkel. Illustrasjon.

Finn lengda av kanalen.

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga og løyser i GeoGebra.

BL^2=737^2+652^2-2*737*652*cos(70°)

NLøys BL=-799.73, BL=799.73

Vi ser bort frå den negative løysinga.

BL800 m

2.7.19

Gitt ein trekant ABC med sider a, b og c der a er motståande side til hjørnet A osb.

a) Rekn ut a når b=4.8 cm, c=4,5 cm og B=63°.

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga og løyser i GeoGebra.

4.8^2=4.5^2+a^2-2*a*4.5*cos63°

NLøys a=-0.6, a=4.68

Vi ser bort frå den negative løysinga.

a=4,7 cm

b) Regn ut b når a=3,8 cm, c=6,0 cm og B=80°.

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga og løyser i GeoGebra.

6.0^2=3.8^2+b^2-2*b*3.8*cos80°

NLøys b=-4.03, b=5.35

Vi ser bort frå den negative løysinga.

b=5,4 cm

c) Rekn ut c når a=3,9 cm, b=4,7 cm og A=35°.

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga og løyser i GeoGebra.

3.9^2=4.7^2+c^2-2*c*4.7*cos35°

NLøys c=1.03, c=6.67

Her kan begge løysingane brukast.

Lengda c=1,0 cm i den eine løysingstrekanten og c=6,7 cm i den andre trekanten.

2.7.20

I kvar oppgåve nedanfor skal du teikne hjelpefigur og finne lengda av BC dersom mogleg.

a) Gitt trekanten ABC der

AB=8,0 cm, AC=4,0 cm og B=30°.

vis fasit
Trekant. Illustrasjon.

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga og løyser i GeoGebra.

4.0^2=8.0^2+BC^2-2*BC*8.0*cos30°

NLøys BC=6.93, BC=6.93

BC=6,9 cm

Vi får to samanfallande løysingar. Det må tyde at vinkel C er 90 grader. Dette stemmer også med at hypotenusen er dobbelt så stor som den minste kateten i ein 30- , 60- og 90-graders trekant.

b) Gitt trekanten ABC der

AB=8,0 cm, AC=6,0 cm og B=30°.

vis fasit
Trekant. Illustrasjon.

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga:

Løyser i GeoGebra: 6.0^2=8.0^2+BC^2-2*BC*8.0*cos30°

BC1=11,4 cm          BC2=2,5 cm

c) Gitt trekanten ABC der

AB=8,0 cm, AC=3,0 cm og B=30°.

vis fasit
Trekant. Illustrasjon.

Vi bruker GeoGebra og set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga.

3.0^2=8.0^2+BC^2-2*BC*8.0*cos30°

Vi finn ingen løysingar.

Vi ser av figuren at AC ikkje rekk bort til BC.

Gitt trekanten ABC der AB=8,0 cm, AC=a cm og B=30,0°.

d) For kva for verdiar av a er det to, éin eller ingen trekantar som innfrir krava i teksten ovanfor?

vis fasit

Finn lenga av AC når AC står vinkelrett på BC.

Vinkel C er då 90° og vi får trenger ikke GeoGebra her dersom vi husker at sin30°=12)

sin30° = AC8,0AC=8,0·sin30°=8,0·12AC=4,0 cm

Dette fann vi i oppgåve a).

Dersom lengda AC er kortare enn 4,0 cm, vil vi ikkje ha nokon løysingar. Dette såg vi i oppgave c) der AC ikkje rekk opp til linja BC.

Dersom vi skal ha to løysingar, må lengda AC vere større enn 4,0 cm og mindre enn lengda av AB, dvs. 8,0 cm. Sjå figur, så skjønar du dette. Eit døme på dette var oppgåve b) ovanfor.

Vi får éi løysing når lengda AC er større enn 8,0 cm og når lengda AC akkurat er 4,0 cm, dvs. vinkelrett på BC.

2.7.21 (utan hjelpemiddel)

I ein trekant er lengda på sidene 4, 5 og 5. Bestem cosinusverdien til vinklane i trekanten.

vis fasit

Vi ser at trekanten er likebeint . Då veit vi at to av vinklane er like. Vi kallar dei to like vinklane v og den tredje vinkelen u. Så bruker vi cosinussetninga til å bestemme cosinus til vinklane.

42 = 52+52-2·5·5·cosucosu=52+52-422·5·5cosu=3450=172552=42+52-2·4·5·cosvcosv=42+52-522·4·5cosv=1640cosv=25

2.7.22 (utan hjelpemiddel)

I trekanten ABC er AC=6, BC=3 og cosC=59.

a) Teikn ein hjelpefigur og bestem AB.

vis fasit
Trekant. Illustrasjon.

Vi bruker cosinussetninga til å bestemme AB.

AB2 = 62+32-2·6·3·59AB2=36+9-20AB=5

b) Bestem cosA og cosB.

vis fasit

Vi bruker cosinussetninga til å bestemme cosA.

32 = 62+52-2·6·5·cosAcosA=36+25-92·6·5cosA=522·6·5cosA=1315

Vi bruker også cosinussetninga til å bestemme cosB.

62 = 32+52-2·3·5·cosBcosB=9+25-362·3·5cosB=-22·3·5cosB=-115

c) Kva kan du seie om storleik en av vinklane i trekanten?

vis fasit

Sidan cosB<0, veit vi at B>90°. Dei to andre vinklane er mindre enn 90°.

2.7.23 Utfordring

I denne oppgåva får du bruk for at sin30°=12.

I trekanten ABC er A=30°, AB=5 og BC=3.

a) Teikn ein hjelpefigur og bestem sinC.

vis fasit
Trekant. Illustrasjon.

Vi bruker sinussetninga og får

sinCAB = sinABCsinC5=123sinC=12·53sinC=56

b) Forklar at det er to trekantar som tilfredsstiller krava.

vis fasit

Vi får ein vinkel i intervallet 0,90° og ein vinkel i intervallet 90°,180° , sjå figuren.

I ein av trekantene i b) er AC=6.

c) Bestem cosB i denne trekanten.

vis fasit

Vi bruker cosinussetninga:

b2 = a2+c2-2ac cosBcosB=32+52-622·3·5cosB=-115

d) Hva fortel svaret i b) om storleiken på B?

vis fasit

Siden cosinusverdien er negativ, veit vi at vinkelen er større enn 90°.

e) Bestem arealet til trekanten i b).

vis fasit

Vi bruker arealsetninga og får at arealet er

T=12b·c·sinA=12·6·5·12=152

Læringsressursar

Trigonometri 2

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter