2.7.46

Gitt ein trekant med sider og slik som på figuren nedanfor.

a) Rekn ut når og .

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel A og løyser i GeoGebra.

Vi ser bort frå den negative løysinga.

Sida .

b) Rekn ut når og .

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel B og løyser i GeoGebra.

Sida .

c) Rekn ut når og .

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel C og løyser i GeoGebra.

Sida .

2.7.47

Gitt ein trekant , sjå figuren nedanfor.

Rekn ut vinklane i trekanten.

vis fasit

Vi set opp likningar med utgangspunkt i cosinussetninga for vinkel og for vinkel og løyser i GeoGebra.

Vinkel A:

Vinkel B:

Vinkel C:

Her har vi i linje 3 brukt kommandoen "HøgreSide()" for å referere til svara i linje 1 og 2 i staden for å skrive inn svara for vinklane A og B direkte.

2.7.48

Vi skal grave ein kanal fra Båly, , til Lehnesfjorden, . Vi står på ei høgde, , slik at vi kan sjå både og , og gjer målingar som vist på figuren nedanfor.

Finn lengda av kanalen.

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel H og løyser i GeoGebra.

Vi ser bort frå den negative løysinga.

2.7.49

Gitt ein trekant med sider og der er motståande side til hjørnet A, og så vidare. Sjå figuren nedanfor.

a) Rekn ut når og .

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel B og løyser i GeoGebra.

Vi ser bort frå den negative løysinga.

b) Rekn ut når og .

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel C og løyser i GeoGebra.

Vi ser bort frå den negative løysinga.

c) Rekn ut når og .

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel A og løyser i GeoGebra.

Her kan begge løysingane brukast.

Lengda i den eine løysingstrekanten og i den andre trekanten.

2.7.50

I kvar av oppgåvene nedanfor skal du teikne hjelpefigur og finne lengda av dersom det er mogleg.

a) Gitt trekanten der

og .

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel B og løyser i GeoGebra.

Vi får to samanfallande løysingar. Det må bety at sida AC akkurat rekk opp til det høgre vinkelbeinet til vinkel B, dvs. det vinkelbeinet som skal vere sida BC. Det må vidare bety at . Dette stemmer også med at hypotenusen er det dobbelte av den minste kateten i ein 30-, 60- og 90-graders trekant.

b) Gitt trekanten der

og .

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel B (som i oppgåve a)) og løyser i GeoGebra.

Vi får to løysingar og dermed to moglege trekantar der punktet C kan ligge to stader. Dersom vi kallar det eine punktet for C₁ og det andre for C₂, får vi

c) Gitt trekanten der

og .

vis fasit

Dette blir igjen same oppsett som i a) og b) der vi løyser med GeoGebra og set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga for vinkel B.

Vi finn ingen moglege løysingar.

Viss vi samanliknar med oppgåve a), ser vi at den minste avstanden frå A til C er 4 cm. Vi kan seie at ikkje rekk bort til .

Gitt trekanten der og .

d) For kva verdiar av b er det to, éin eller ingen trekantar som innfrir krava i teksten over?

vis fasit

Alternativ 1. Løsning med GeoGebra

Vi tek utgangspunkt i samme cosinussetning som før, men set AC = b og løyser med GeoGebra.

Sidan vi har ei likning med to ukjende (både BC og b), må vi bruke kommandoen "Løys(<likning>, <variabel>)" i staden for berre å trykke direkte på knappen for numerisk løysing av likning. Etterpå trykker vi på knappen for tilnærma utrekning og får svaret frå linje 1 med tilnærma verdiar.

Vi får at når rotteiknet er null, dvs. at , blir det berre éi løysing. Dette er den samme løysinga som i oppgåve a), og vi kjenner att talet 6,93.

Vi får vidare at når , blir det negativt under rotteiknet, og da er det inga løysing. Dette stemmer overens med hva vi fant i oppgave c).

Dersom , har likninga alltid to løysingar. Men vi kan ikkje ha negative løysingar, og løysingar som er null gir ingen trekant. Den andre løysinga i linje 2 er alltid positiv. Den første løysinga blir negativ når b blir stor nok. Frå den første løysinga set vi opp ein ulikskap som vi løyser med GeoGebra.

Vi får altså to løysingar når b er mindre enn 8. Det er fordi at viss b, som er sida AC, er større enn 8, blir ho større enn sida AB. Vi får ein trekant då også, men då er ikkje vinkel B lik 30 grader lenger. (Kvifor ikkje?) Når b er akkurat lik 8, gir den første løysinga og dermed ingen trekant.

Oppsummert:

Vi får to trekantar når .

Vi får éin trekant når .

Alternativ 2. Løsning uten GeoGebra.

Vi finn lengda til når står vinkelrett på .

Vinkel er då , og vi får (treng ikkje GeoGebra her dersom vi hugsar at )

Dette fann vi i oppgåve a).

Dersom lengda er kortare enn , vil vi ikkje ha nokon løysingar. Dette såg vi i oppgåve c) der ikkje rekk opp til linja .

Dersom vi skal ha to løysingar, må lengda vere større enn og mindre enn lengda til , dvs. . Eit døme på dette var oppgåve b) over.

Vi får éi løysing når lengda er større enn eller lik og når lengda akkurat er dvs. at står vinkelrett på .

Oppsummert:

Vi får to trekantar når .

Vi får éin trekant når .

2.7.51 (utan hjelpemiddel)

I ein trekant er lengda på sidene 4, 5 og 5. Bestem cosinusverdien til vinklane i trekanten.

vis fasit

Vi ser at trekanten er likebeint. Då veit vi at to av vinklane er like. Vi kallar dei to like vinklane og den tredje vinkelen . Så bruker vi cosinussetninga til å bestemme cosinus til vinklane.

Den tredje vinkelen er mellomliggjande vinkel til dei to like sidene. Vi får

2.7.52 (utan hjelpemiddel)

I trekanten ABC er og .

a) Teikn ein hjelpefigur og bestem .

vis fasit

Vi bruker cosinussetninga til å bestemme .

b) Bestem og .

vis fasit

Vi bruker cosinussetninga til å bestemme .

Vi bruker også cosinussetninga til å bestemme .

c) Kva kan du seie om storleiken på vinklane i trekanten?

vis fasit

Sidan , veit vi at . Dei to andre vinklane er mindre enn .

2.7.53 Utfordring

I denne oppgåva får du bruk for at .

I trekanten er .

a) Teikn ein hjelpefigur og bestem .

vis fasit

Vi bruker sinussetninga og får

b) Forklar at det er to trekantar som tilfredsstiller krava.

vis fasit

Vi får ein vinkel i intervallet og ein vinkel i intervallet , sjå figuren.

I ein av trekantane i b) er .

c) Bestem i denne trekanten.

vis fasit

Vi bruker cosinussetninga:

d) Kva fortel svaret i b) om storleiken på ?

vis fasit

Sidan cosinusverdien er negativ, veit vi at vinkelen er større enn .

e) Bestem arealet til trekanten i b).

vis fasit

Vi bruker arealsetninga og får at arealet er

Sida har flytta, men du kan finne den her: