Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 2ChevronRight
  5. CosinussetningaChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Cosinussetninga

I oppgåvene nedanfor kan du bruke alle hjelpemiddel dersom det ikkje står noko anna.

2.7.16

Gitt ein trekant ABC med sider a, b og c slik som på figuren nedanfor.

Trekant med hjørne stor a, stor b og stor c og sider liten a, liten b og liten c slik at sida liten a er motståande side til hjørnet stor a, og tilsvarande. Illustrasjon.

a) Rekn ut a når  b=5,0 cm, c=7,0 cm  og  A=39°.

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel A og løyser i GeoGebra.

a2=b2+c2-2·b·c·cosA

a2=52+72-2·5·7·cos39°1NLøys:  {a=-4.43, a=4.43}

Vi ser bort frå den negative løysinga.

Sida  a=4,4 cm.

b) Rekn ut b når  a=8,7 dm, c=12,3 dm  og  B=115,5°.

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel B og løyser i GeoGebra.

b2=a2+c2-2·a·c·cosB

b2=8.72+12.32-2·8.7·12.3·cos115.5°1NLøys:  {b=-17.86, b=17.86}

Sida  b=17,9 dm.

c) Rekn ut c når  a=2,3 cm, b=4,5 cm og  C=23,6°.

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel C og løyser i GeoGebra.

c2=a2+b2-2·a·b·cosC

c2=2.32+4.52-2·2.3·4.5·cos23.6°1NLøys:  {c=-2.56, c=2.56}

Sida  c=2,6 cm.

2.7.17

Gitt ein trekant ABC, sjå figuren nedanfor.

Trekant ABC der motståande side til A er 6,0 centimeter, motståande side til B er 14 centimeter og motståande side til C er 19 centimeter. Illustrasjon.

Rekn ut vinklane i trekanten.

vis fasit

Vi set opp likningar med utgangspunkt i cosinussetninga for vinkel A og for vinkel B og løyser i GeoGebra.

Vinkel A:  a2=b2+c2-2·b·c·cosA

6.02=142+192-2·14·19·cosA°1NLøys:  {A=11.67}

Vinkel B:  b2=a2+c2-2·a·c·cosB

142=6.02+192-2·6.0·19·cosB°2NLøys:  {B=28.17}

Vinkel C:

180-HøgreSide($1)-HøgreSide($2)3  {140.16}

Her har vi i linje 3 brukt kommandoen "HøgreSide()" for å referere til svara i linje 1 og 2 i staden for å skrive inn svara for vinklane A og B direkte.

A = 11,7°B=28,2°C=140,2°

2.7.18

Vi skal grave ein kanal fra Båly, B, til Lehnesfjorden, L. Vi står på ei høgde, H, slik at vi kan sjå både B og L, og gjer målingar som vist på figuren nedanfor.

Trekanten BHL der BH er 737 meter, HL er 652 meter og vinkel H er 70 grader. Illustrasjon.
Kanal skal gravast mellom 𝐵 og 𝐿 på figuren.

Finn lengda av kanalen.

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel H og løyser i GeoGebra.

 BL2=BH2+HL2-2·BH·HL·cosH

BL2=7372+6522-2·737·652·cos70°1NLøys:  {BL=-799.73, BL=799.73}

Vi ser bort frå den negative løysinga.

BL=800 m

2.7.19

Gitt ein trekant ABC med sider a, b og c der a er motståande side til hjørnet A, og så vidare. Sjå figuren nedanfor.

Trekant med hjørne stor a, stor b og stor c og sider liten a, liten b og liten c slik at sida liten a er motståande side til hjørnet stor a, og tilsvarende. Illustrasjon.

a) Rekn ut a når  b=4.8 cm, c=4,5 cm  og  B=63°.

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel B og løyser i GeoGebra.

 b2=a2+c2-2·a·c·cosB

4.82=a2+4.52-2·a·4.5·cos63°1NLøys:  {a=-0.6, a=4.68}

Vi ser bort frå den negative løysinga.

a=4,7 cm

b) Rekn ut b når  a=3,8 cm, c=6,0 cm  og  C=80°.

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel C og løyser i GeoGebra.

 c2=a2+b2-2·a·b·cosC

6.02=3.82+b2-2·3.8·b·cos80°1NLøys:  {b=-4.03, b=5.35}

Vi ser bort frå den negative løysinga.

b=5,4 cm

c) Rekn ut c når  a=3,9 cm, b=4,7 cm  og  A=35°.

vis fasit

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel A og løyser i GeoGebra.

 a2=b2+c2-2·b·c·cosA

3.92=4.72+c2-2·4.7·c·cos35°1NLøys:  {c=1.03, c=6.67}

Her kan begge løysingane brukast.

Lengda  c=1,0 cm i den eine løysingstrekanten og  c=6,7 cm i den andre trekanten.

2.7.20

I kvar av oppgåvene nedanfor skal du teikne hjelpefigur og finne lengda av BC dersom det er mogleg.

a) Gitt trekanten ABC der

AB=8,0 cm, AC=4,0 cm  og  B=30°.

vis fasit
Trekant A B C der A B er 8,0 centimeter, A C er 4,0 centimeter og vinkel B er 30 grader. Illustrasjon.

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel B og løyser i GeoGebra.

 AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cosB

4.02=8.02+BC2-2·8.0·BC·cos30°1NLøys:  {BC=6.93, BC=6.93}

BC=6,9 cm

Vi får to samanfallande løysingar. Det må bety at sida AC akkurat rekk opp til det høgre vinkelbeinet til vinkel B, dvs. det vinkelbeinet som skal vere sida BC. Det må vidare bety at  C=90°. Dette stemmer også med at hypotenusen er det dobbelte av den minste kateten i ein 30-, 60- og 90-graders trekant.

b) Gitt trekanten ABC der

AB=8,0 cm, AC=6,0 cm  og  B=30°.

vis fasit
Trekant A B C som viser to moglege plasseringar C 1 og C 2 for punktet C når A B er 8,0 centimeter, A C er 6,0 centimeter og vinkel B er 30 grader. Illustrasjon.

Vi set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga med vinkel B (som i oppgåve a)) og løyser i GeoGebra.

 AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cosB

6.02=8.02+BC2-2·8.0·BC·cos30°1NLøys:  {BC=2.46, BC=11.4}

Vi får to løysingar og dermed to moglege trekantar der punktet C kan ligge to stader. Dersom vi kallar det eine punktet for C₁ og det andre for C₂, får vi

BC1=11,4 cm,  BC2=2,5 cm

c) Gitt trekanten ABC der

AB=8,0 cm, AC=3,0 cm  og  B=30°.

vis fasit
Figur som viser at vi ikkje får ein trekant A B C når A B er 8,0 centimeter, vinkel B er 30 grader og vi krev at A C skal vere berre 3,0 centimeter. Illustrasjon.

Dette blir igjen same oppsett som i a) og b) der vi løyser med GeoGebra og set opp ei likning med utgangspunkt i cosinussetninga for vinkel B.

 AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cosB

3.02=8.02+BC2-2·8.0·BC·cos30°1NLøys:  {}

Vi finn ingen moglege løysingar.

Viss vi samanliknar med oppgåve a), ser vi at den minste avstanden frå A til C er 4 cm. Vi kan seie at AC ikkje rekk bort til BC.

Gitt trekanten ABC der  AB=8,0 cm, AC=b cm og  B=30,0°.

d) For kva verdiar av b er det to, éin eller ingen trekantar som innfrir krava i teksten over?

vis fasit

Alternativ 1. Løsning med GeoGebra

Vi tek utgangspunkt i samme cosinussetning som før, men set AC = b og løyser med GeoGebra.

 AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cosB

Løys(b2=8.02+BC2-2·8.0·BC·cos(30°), BC)1  {BC=-b2-16+43, BC=b2-16+43}$12  {BC=-b2-16+6.93, BC=b2-16+6.93}

Sidan vi har ei likning med to ukjende (både BC og b), må vi bruke kommandoen "Løys(<likning>, <variabel>)" i staden for berre å trykke direkte på knappen for numerisk løysing av likning. Etterpå trykker vi på knappen for tilnærma utrekning og får svaret frå linje 1 med tilnærma verdiar.

Vi får at når rotteiknet er null, dvs. at  b=4, blir det berre éi løysing. Dette er den samme løysinga som i oppgåve a), og vi kjenner att talet 6,93.

Vi får vidare at når  b<4, blir det negativt under rotteiknet, og da er det inga løysing. Dette stemmer overens med hva vi fant i oppgave c).

Dersom  b>4, har likninga alltid to løysingar. Men vi kan ikkje ha negative løysingar, og løysingar som er null gir ingen trekant. Den andre løysinga i linje 2 er alltid positiv. Den første løysinga blir negativ når b blir stor nok. Frå den første løysinga set vi opp ein ulikskap som vi løyser med GeoGebra.

-b2-16+43>0

-b2-16+4·3>03Løys:  {-8<b-4, 4b<8}

Vi får altså to løysingar når b er mindre enn 8. Det er fordi at viss b, som er sida AC, er større enn 8, blir ho større enn sida AB. Vi får ein trekant då også, men då er ikkje vinkel B lik 30 grader lenger. (Kvifor ikkje?) Når b er akkurat lik 8, gir den første løysinga  BC=0  og dermed ingen trekant.

Oppsummert:

Vi får to trekantar når  4<b<8.

Vi får éin trekant når  b8        b=4.

Alternativ 2. Løsning uten GeoGebra.

Vi finn lengda til AC når AC står vinkelrett på BC.

Vinkel C er då 90°, og vi får (treng ikkje GeoGebra her dersom vi hugsar at  sin30°=12)

sin30° = AC8,0AC=8,0·sin30°=8,0·12AC=4,0 cm

Dette fann vi i oppgåve a).

Dersom lengda AC er kortare enn 4,0 cm, vil vi ikkje ha nokon løysingar. Dette såg vi i oppgåve c) der AC ikkje rekk opp til linja BC.

Dersom vi skal ha to løysingar, må lengda AC vere større enn 4,0 cm og mindre enn lengda til AB, dvs. 8,0 cm. Eit døme på dette var oppgåve b) over.

Vi får éi løysing når lengda AC er større enn eller lik 8,0 cm og når lengda AC akkurat er 4,0 cm dvs. at AC står vinkelrett på BC.

Oppsummert:

Vi får to trekantar når  4<b<8.

Vi får éin trekant når  b8        b=4.

2.7.21 (utan hjelpemiddel)

I ein trekant er lengda på sidene 4, 5 og 5. Bestem cosinusverdien til vinklane i trekanten.

vis fasit

Vi ser at trekanten er likebeint. Då veit vi at to av vinklane er like. Vi kallar dei to like vinklane v og den tredje vinkelen u. Så bruker vi cosinussetninga til å bestemme cosinus til vinklane.

Den tredje vinkelen u er mellomliggjande vinkel til dei to like sidene. Vi får

42 = 52+52-2·5·5·cosucosu=52+52-422·5·5=3450=172552=42+52-2·4·5·cosvcosv=42+52-522·4·5=1640=25

2.7.22 (utan hjelpemiddel)

I trekanten ABC er  AC=6, BC=3  og  cosC=59.

a) Teikn ein hjelpefigur og bestem AB.

vis fasit
Trekant A B C der A C er 6, B C er 3 og cosinus C er fem nidelar. Illustrasjon.

Vi bruker cosinussetninga til å bestemme AB.

AB2 = 62+32-2·6·3·59=36+9-20AB=5

b) Bestem cosA og cosB.

vis fasit

Vi bruker cosinussetninga til å bestemme cosA.

32 = 62+52-2·6·5·cosAcosA=36+25-92·6·5=522·6·5=1315

Vi bruker også cosinussetninga til å bestemme cosB.

62 = 32+52-2·3·5·cosBcosB=9+25-362·3·5=-22·3·5=-115

c) Kva kan du seie om storleiken på vinklane i trekanten?

vis fasit

Sidan  cosB<0, veit vi at  B>90°. Dei to andre vinklane er mindre enn 90°.

2.7.23 Utfordring

I denne oppgåva får du bruk for at  sin30°=12.

I trekanten ABC er  A=30°, AB=5  og  BC=3.

a) Teikn ein hjelpefigur og bestem sinC.

vis fasit
Figur som viser at det er to moglege trekantar A B C 1 og A B C 2 når A B er 5, B C er 3 og vinkel A er 30 grader. Dei to moglege punkta C 1 og C 2 er dei to skjeringspunkta mellom sirkel med sentrum i B og radius 3 og det høgre vinkelbeinet til vinkel A. Illustrasjon.

Vi bruker sinussetninga og får

sinCAB = sinABCsinC5=123sinC=12·53=56

b) Forklar at det er to trekantar som tilfredsstiller krava.

vis fasit

Vi får ein vinkel i intervallet 0°, 90° og ein vinkel i intervallet 90°, 180° , sjå figuren.

I ein av trekantane i b) er  AC=6.

c) Bestem cosB i denne trekanten.

vis fasit

Vi bruker cosinussetninga:

b2 = a2+c2-2ac cosBcosB=32+52-622·3·5=-115

d) Kva fortel svaret i b) om storleiken på B?

vis fasit

Sidan cosinusverdien er negativ, veit vi at vinkelen er større enn 90°.

e) Bestem arealet til trekanten i b).

vis fasit

Vi bruker arealsetninga og får at arealet er

T=12b·c·sinA=12·6·5·12=152

Læringsressursar

Trigonometri 2