Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 1ChevronRight
  5. Oppsummering Trigonometri 1ChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Oppsummering Trigonometri 1

Med dei trigonometriske funksjonane tangens, sinus og cosinus kan vi bruke opplysningar om vinklar i trekantane til å rekne ut ukjende sider – og omsnudd. Med Pytagoras' setning kan vi berre rekne på sidene i trekantane.

På sidene Tangens til ein vinkel og Sinus og cosinus blir du presentert for den delen av matematikken som handlar om å rekne ut vinklar og lengder i trekantar. Dette kallar vi for trigonometri, som tyder trekantmåling. Denne delen av geometrien kan redusere det å måle lengder i røyndommen, som ofte kan vere umogleg eller farleg, til å måle vinklar som gir grunnlag for å rekne ut lengder.

Vi kan summere opp det vi har lært.

Definisjon

Rettvinkla trekant der stor A er det rettvinkla hjørnet slik som figuren viser. Liten a er motståande side til hjørnet stor A, og det er tilsvarande for dei andre sidene og hjørna. I tillegg kallar vi vinkelen i hjørnet B for v. Det tyder at b er motståande katet til vinkel v mens c er hosliggjande katet. a er hypotenusen i trekanten. Illustrasjon.
Rettvinkla trekant med systematisk navngiving av hjørner og sider

La trekant ABC vere rettvinkla med A som det rettvinkla hjørnet slik som figuren viser. a er den motståande sida til hjørnet A, og det er tilsvarande for dei andre sidene og hjørna. I tillegg kallar vi vinkelen i hjørnet B for v. Det tyder at b er motståande katet til vinkel v medan c er hosliggjande katet. a er hypotenusen i trekanten.

Vi definerer

sinv = abcosv=cbtanv=ac

Med sinus til ein vinkel meiner vi forholdet mellom motståande katet og hypotenus.

Med cosinus til ein vinkel meiner vi forholdet mellom hosliggjande katet og hypotenus.

Med tangens til ein vinkel meiner vi forholdet mellom motståande og hosliggjande katet.

Vi skal no, gjennom nokre døme, vise korleis vi i praksis bruker trigonometrien. Oppgåvene i desse døma er løyste med CAS i GeoGebra.

Døme 1

Rettvinkla trekant ABC der vinkel A er 90 grader, vinkel B er 28 grader og sida BC er 15,6. Illustrasjon.

Vi skal finne dei ukjende sidene i den rettvinkla trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, B=28° og hypotenusen er 15,6.

Løysing

Vi har oppgitt hypotenusen og den eine vinkelen. Då kan vi finne den motståande kateten til vinkelen med sinus og den hosliggjande kateten med cosinus.

sin28°=AC15.61NLøys:  {AC=7.3}cos28°=AB15.62NLøys:  {AB=7.3}

Døme 2

Rettvinkla trekant ABC der vinkel A er 90 grader, vinkel B er 28 grader og sida AC er 5.2. Illustrasjon.

Vi skal finne dei ukjende sidene i trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, B=22° og sida AC er 5,3.

Løysing

Vi har oppgitt den eine spisse vinkelen og den motståande kateten til vinkelen. Då kan vi finne hypotenusen med sinus og den hosliggjande kateten med tangens.

sin22°=5.2BC1NLøys:  {BC=13.9}tan22°=5.2AB2NLøys:  {AB=12.9}

Døme 3

Rettvinkla trekant ABC der vinkel A er 90 grader, vinkel C er 58 grader og sida AC er 17,3. Illustrasjon.
Rettvinkla trekant til eksempel 1

Vi skal finne dei ukjende sidene i trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, C=58°  og sida AC er 17,3.

Løysing

Vi har oppgitt den eine spisse vinkelen og den hosliggjande kateten til vinkelen. Då kan vi finne hypotenusen med cosinus og den motståande kateten med tangens.

cos58°=17.3BC1NLøys:  {BC=32.6}tan58°=AB17.32NLøys:  {AB=27.7}

Døme 4

Vi skal finne den ukjende vinkelen v og sida c i trekanten ABC der vinkel A er 90 grader, sida AC er 17,3 og sida BC er 34,2.

Løysing

I høve til den vinkelen vi skal finne, har vi oppgjeve den hosliggjande kateten, og vi har oppgjeve hypotenusen. Då kan vi bruke cosinus, som gir oss

cosv=17.334.2

Vi kan løyse dette som ei likning, eller vi kan bruke den "inverse" eller "motsette" cosinusfunksjonen. I GeoGebra har denne funksjonen namnet "acosd" når vi skal ha vinkelen i grader.

Alternativ 1. Løysing ved å løyse likning

cosv°=17.334.21NLøys:  {v=-59.6, v=59.6}

Alternativ 2. Løysing med invers cosinus

acosd17.334.21  59.6°

No som vi kjenner ein vinkel, kan vi bruke ein trigonometrisk funksjon til å finne den ukjende sida. Men det går like greitt å bruke Pytagoras si læresetning, og då bruker vi berre tal som er oppgjeve i oppgåva.

AB2+AC2=BC2

c2+17.32=34.222NLøys:  {c=-29.5, c=29.5}

Vi får altså at

v=59,6°  og  c=29,5

Læringsressursar

Trigonometri 1