Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. Sinus og cosinus til vinklarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagstoff

Sinus og cosinus til vinklar

I tillegg til tangens definerer vi også sinus- og cosinusverdiar til vinklar.

Vi ser på dei formlike trekantane, ABC og DBE slik som i artikkelen der vi ser på tangens.

To formlike, rettvinkla trekantar A B C og D B E med felles vinkel B som ikkje er rettvinkla. Illustrasjon.

På grunn av formlikskap får vi at ACBC=DEBE

Forholdet mellom motståande katet til B og hypotenusen blir også ein konstant storleik.

Dette konstante forholdet identifiserer også B eintydig, og vi gir derfor også dette forholdstalet eit namn. Vi kallar det sinusverdien til B.

På grunn av formlikskap får vi også at at ABBC=BDBE

Forholdet mellom hosliggjande katet til B og hypotenusen blir også ein konstant storleik.

Dette konstante forholdet identifiserer også B eintydig, og vi gir derfor også dette forholdstalet eit namn. Vi kallar det cosinusverdien til B.

I ein rettvinkla trekant med ein spiss vinkel v er

sinv=motståande katethypotenus=ba

cosv=hosliggjande katethypotenusen=ca

Rettvinkla trekant A B C der C er det rettvinkla hjørnet. Liten a er motståande side til hjørnet stor A, og det er tilsvarande for dei andre sidene og hjørna. I tillegg kallar vi vinkelen i hjørnet B for v. Det betyr at sida b er motståande katet til vinkel v medan sida c er hosliggjande katet. Sida a er hypotenusen i trekanten. Illustrasjon.

Eksempel 1

Feil ved lasting av biletet.
Orsak, ein feil oppstod ved lasting av biletet.

Vi skal finne dei ukjende sidene i den rettvinkla trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, B=28° og hypotenusen er 15,6.

Løysing

Vi har oppgitt hypotenusen og den eine vinkelen. Då kan vi finne den motståande kateten til vinkelen med sinus og den hosliggjande kateten med cosinus.

sinB = ACBCtanB=ACAB

sin28°=AC15.61NLøys:  {AC=7.3}cos28°=AB15.62NLøys:  {AB=13.8}

Eksempel 2

Vi skal finne dei ukjende sidene i trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, B=22° og sida AC er 5,3.

Rettvinkla trekant A B C der vinkel A er 90 grader, vinkel B er 28 grader og siden A C er 5.2. Illustrasjon.

Løysing

Vi har oppgitt den eine spisse vinkelen og den motståande kateten til vinkelen. Då kan vi finne hypotenusen med sinus og den hosliggjande kateten med tangens.

sinB = ACBCtanB=ACAB

sin22°=5.2BC1NLøs:  {BC=13.9}tan22°=5.2AB2NLøs:  {AB=12.9}

Eksempel 3

Rettvinkla trekant A B C der vinkel A er 90 grader, vinkel C er 58 grader og sida A C er 17,3. Illustrasjon.

Vi skal finne dei ukjende sidene i trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, C=58°  og sida AC er 17,3.

Løysing

Vi har oppgitt den eine spisse vinkelen og den hosliggjande kateten til vinkelen. Då kan vi finne hypotenusen med cosinus og den motståande kateten med tangens.

cosC = ACBCtanC=ABAC

cos58°=17.3BC1NLøys:  {BC=32.6}tan58°=AB17.32NLøys:  {AB=27.7}

Eksempel 4

Rettvinkla trekant A B C der vinkel A er 90 grader, sida A C er 17,3 og sida B C er 34,2. Illustrasjon.

Vi skal finne den ukjende vinkelen v og sida c i trekanten ABC der vinkel A er 90 grader, sida AC er 17,3 og sida BC er 34,2.

Løysing

I høve til den vinkelen vi skal finne, har vi oppgjeve den hosliggjande kateten, og vi har oppgjeve hypotenusen. Då kan vi bruke cosinus, som gir oss

cosv=ACBC=17.334.2

Vi kan løyse dette som ei likning, eller vi kan bruke den "inverse" eller "motsette" cosinusfunksjonen. I GeoGebra har denne funksjonen namnet "acosd" når vi skal ha vinkelen i grader.

Alternativ 1. Løysing ved å løyse likning

cosv°=17.334.21NLøys:  {v=-59.6, v=59.6}

Vi må sjå bort frå den negative løysinga.

Alternativ 2. Løysing med invers cosinus

acos17.334.21  59.6°

No som vi kjenner ein vinkel, kan vi bruke ein trigonometrisk funksjon til å finne den ukjende sida  c=AB. Men det går like greitt å bruke Pytagoras si læresetning, og då bruker vi berre tal som er oppgjeve i oppgåva.

AB2+AC2=BC2

c2+17.32=34.222NLøys:  {c=-29.5, c=29.5}

Vi får altså at

v=59,6°  og  c=AB=29,5