Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 1ChevronRight
  5. Tangens til ein vinkelChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Tangens til ein vinkel

Vi bruker at forholdet mellom samsvarande sider i formlike trekantar er konstant til å innføre den trigonometriske funksjonen tangens.

formlike trekanter

Gitt ABC og DBE som vist på figuren ovanfor. Trekantane er formlike fordi B er felles i begge trekantane og A=D=90°.

Vi har derfor at ACDE=ABDB.

Vi multipliserer med DE og dividerer med AB på begge sider av likskapsteiknet.


ACDE = ABDBAC· DEDE·AB=AB·DEDB·ABAC· DEDE·AB=AB·DEDB·ABStor trekant ACAB=DEDBLiten trekant
Forholdet mellom motståande katet til B og hosliggjande katet til B er det same kva for ein trekant vi bruker.



Vi kan lage fleire trekantar ved å teikne inn parallelle linjer til AC og DE. På grunn av formlikskap vil da alltid forholdet mellom motståande katet og hosliggjande katet vere det same. Dette forholdet er altså konstant.


Dette konstante forholdet identifiserer B eintydig, og derfor gir vi dette forholdstalet eit namn. Vi kallar det tangensverdien til B.


rettvinklet trekant

Tangens til ein vinkel

I ein rettvinkla trekant med ein spiss vinkel v er

tanv=motståande katethosliggjande katet=bc

Korleis finne samanhengen mellom tangensverdien og gradtalet for ein vinkel?

  • Bruk papir, blyant og gradskive, eller brukGeoGebra, og teikn ein vinkel v=15°
  • Opprett ein normal på det høgre vinkelbeinet til v slik at v svarar til A i den rettvinkla trekanten ABC
  • Mål og rekn ut forholdet BCAB
  • Lag gjerne fleire trekantar der du varierer plasseringa av punktet B

Får du at dette forholdet er 0,27? Du har i så fall funne at tan15°0,27.

Du kan finne tangensverdiane til alle vinklar på denne måten. Men du treng ikkje gjere det, for andre har gjort det før deg.

tangens til 15 grader.Foto.

Med CAS i GeoGebra finn du tangens til 15 grader ved å skrive tan(15°). Du må bruke parentesar og gradeteikn. (Hurtigtast "Alt + O")

Tangens i GeoGebra

For å gå motsatt veg må du skrive atand(0.268).

Det er vanleg at vi tar med 1 desimal i gradverdien for ein vinkel og 3 desimalar i tangensverdien.


Kva kan vi så bruke tangens til? Vi skal gi nokre eksempel.

Eksempel 1

Thales frå Milet (600 f. Kr) fann høgda av Keopspyramiden ved å bruke «skuggematematikk» (formlike trekantar).

pyramide og trekanter

På figuren ovanfor er pyramiden teikna som ein trekant. AB er skuggen av pyramiden. DE er skuggen av den 2 meter høge stokken DF . BC og EF er parallelle sidan solstrålane er parallelle.

Thales fann høgda slik

AC2,0 = 1902,6AC  =  73,08·2,0AC146

Pyramiden er ca. 146 meter høg.

Gizapyramidane i Egypt
Gizapyramidane i Egypt

Ved å bruke det vi no har lært om tangens, kan vi finne høgda av pyramiden utan å bruke trekanten DEF. Vi kan med ein vinkelmålar, gradskive eller litt meir avansert utstyr måle B = 37,6°.

Vi kan då setje opp og løyse likninga
tangens til 37 komma 6 grader \

Vi har no ein generell metode for å finne høgda på tre, bygningar og liknande, ved å måle vinklar og avstandar langs bakken.

Eksempel 2

tegning av sjøsanden

Vi ønskjer å rekne ut avstanden frå badestranda Sjøsanden i Mandal og ut til Hatholmen.

Løysing

Vi lagar ei linje AB=100 m i sanden. Linja står vinkelrett på siktelinja til Hatholmen frå punktet A. (Korleis gjer vi det?) Ved hjelp av ein vinkelmålar måler vi B = 87°.

tangens til 87 gradar \

Vi kan då setje opp og løyse likninga

Der er 1900 m ut til Hatholmen.

Ved hjelp av betre instrument til å måle vinklar kan vi få større nøyaktigheit. Sjekk kva for utslag det gir om vinkelen hadde vore ein halv grad større.

Vi har då ein generell metode for å finne avstandar ut til ut til øyer, over elver og liknande, ved å måle vinklar og avstandar langs bakken der vi er.

Eksempel 3

bilde av fyrtårn og robåt

Du sit i ein båt utanfor Lindesnes fyr og lurer på kor langt det er inn til land. Du veit at toppen av fyrlykta er 40 meter over havflata. Du tar fram gradskiva og måler vinkelen som vist på teikninga til 5 grader. Finn ut kor langt det er inn til land.

Løysing

tangens til 5 gradar \

Vi kan setje opp og løyse likninga

Det er 460 m inn til land.

Vi har då ein generell metode for å finne avstandar til stader der vi har objekt vi kjenner høgda eller breidda av. Dette kan til dømes vere nyttig i orientering i skog og mark.

Eksempel 4

Metode for å finne ukjende vinklar.

Ein snikkar treng å vite takvinkelen v. Sjå figur.

vinkler på hustak
tangens til v grader \

Vi kan setje opp og løyse likninga

(Hugs gradeteiknet)

Takvinkelen er 33,4°.

Læringsressursar

Trigonometri 1