Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. TangensChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgaver og aktiviteter

Tangens

Oppgåvene nedanfor kan løysast med digitale hjelpemiddel så lenge det ikkje står noko anna.

2.7.3

Finn tangensverdiane til følgjande vinklar. Finn òg dei eksakte verdiane, dersom det er mogleg.

a) 23°

Vis fasit

Løyser i GeoGebra:

tan23°1  0.424

b) 45°

Vis fasit

Løyser i GeoGebra:

tan45°1  1

Dette er ein eksakt verdi.

c) 73,6°

Vis fasit

Løyser i GeoGebra:

tan73.6°1  3.398

d) 30°

Vis fasit

Løyser i GeoGebra:

tan30°1  0.577tan30°2 13 3

Her har vi òg teke med eksakt utrekning for å vise at tangens til 30 grader er ein eksakt verdi.

e) 60°

Vis fasit

Løyser i GeoGebra:

tan60°1  1.732tan60°2 3

Her har vi òg teke med eksakt utrekning for å vise at tangens til 60 grader er ein eksakt verdi.

2.7.4

Finn ut kva vinklar som har tangensverdiane nedanfor.

Bruk GeoGebra.

a) tanv=0,3456

Vis fasit

Løyser i GeoGebra:

atand0.34561  19.1°

Alternativt kan vi løyse likninga direkte.

tanv°=0.34561NLøys:  {v=19.1}

v=19,1°

b) tanv=1

Vis fasit

Løyser i GeoGebra:

atand11  45°

v=45°

c) tanv=3

Vis fasit

Løyser i GeoGebra:

atand31  60°

v=60°

d) tanv=33

Vis fasit

Løyser i GeoGebra:

atand331  30°

v=30°

2.7.5

a) Finn den ukjende kateten i trekanten ABC når  B=28,0°  og  AB=14,0.

Rettvinkla trekant A B C der vinkel A er 90 grader, vinkel B er 28,0 grader og sida A B er 14,0. Illustrasjon.
Vis fasit

Den ukjende kateten AC er motståande katet til vinkel B. AB er hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgjande likning i GeoGebra:

tanB=ACAB

tan28.0°=AC14.01NLøys:  {AC=7.4}

Den ukjende kateten er 7,4.

b) Finn den ukjende kateten i trekanten ABC når  B=28,0°  og  AC=7,0.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel A er 90 grader, vinkel B er 28,0 grader og sida AC er 7,0. Illustrasjon.
Vis fasit

Den ukjende kateten AB er hosliggjande katet til vinkel B. AC er motståande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgjande likning i GeoGebra:

tanB=ACAB

tan28.0°=7.0AB1NLøys:  {AB=13.17}

Den ukjende kateten er 13.

2.7.6

Finn den ukjende kateten i trekanten ABC når  C=62°  og  AC=7,0.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel A er 90 grader, vinkel C er 62,0 grader og sida AC er 7,0. Illustrasjon.
Vis fasit

Den ukjende kateten AB er motståande katet til vinkel C. AC er hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgjande likning i GeoGebra:

tanC=ABAC

tan62.0°=AB7.01NLøys:  {AB=13.17}

Den ukjende kateten er 13.

2.7.7

Finn vinkel v i den rettvinkla trekanten. Dei to vinkelbeina til den rette vinkelen har lengder 5 og 2. Vinkelbeinet som har lengde 2, er òg vinkelbein til den ukjende vinkelen v.

Rettvinkla trekant der motståande katet til vinkel v er 5 og hosliggjande katet er 2. Illustrasjon.
Vis fasit

Sida som har lengde 5, er motståande katet til vinkel v. Sida som har lengde 2, er hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgjande likning i GeoGebra:

tanv°=521NLøys:  {v=68.2}

v=68,2°

2.7.8

Finn dei ukjende sidene i trekantane.

a)

Rettvinkla trekant ABC der vinkel B er 90 grader, vinkel A er 32 grader og sida BC er 2,5. Illustrasjon.
Vis fasit

Den gitte sida BC er motståande katet til den gitte vinkelen A. Då kan vi bruke tangens til å finne hosliggjande katet, AB. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.

tanA=BCAB

AC2=AB2+BC2

tan32°=2.5AB1NLøys:  {AB=4}AC2=42+2.522NLøys:  {AC=-4.72, AC=4.72}

Vi får at  AB=4,0  og  AC=4,7.

b)

Rettvinkla trekant ABC der vinkel B er 90 grader, vinkel A er 22,8 grader og sida AB er 3,1. Illustrasjon.
Vis fasit

Den gitte sidA AB er hosliggjande katet til den gitte vinkelen A. Då kan vi bruke tangens til å finne motståande katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.

tanA = BCABAC2=AB2+BC2

tan22.8°=BC3.11NLøys:  {BC=1.303} AC2=1.3032+2.522NLøys:  {AC=-3.363, AC=3.363}

(Vi tar med tre desimalar for BC for å få større nøyaktigheit i utrekninga i linje 2.)

Vi får at  AB=1.3  og  AC=3.4.

c)

Rettvinkla trekant ABC der vinkel B er 90 grader, vinkel C er 85,9 grader og sida AB er 3,1. Illustrasjon.
Vis fasit

Den gitte sida AB er motståande katet til den gitte vinkelen C. Då kan vi bruke tangens til å finne hosliggjande katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.

tanC = ABBC AC2=AB2+BC2

tan85.9°=3.1BC1NLøys:  {BC=0.222}AC2=3.12+0.22222NLøys:  {AC=-3.108, AC=3.108}

(Vi tar med tre desimalar for BC for å få større nøyaktigheit i utrekninga i linje 2.)

Vi får at  AB=1.3  og  AC=3.11.

2.7.9

I den rettvinkla trekanten under er  tanB=35  og  AC=3,0.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel C er 90 grader og sida AC er 3,0. I tillegg er det gitt i oppgåva at tangens til vinkel B er lik 3 femdelar. Illustrasjon.

a) Bestem lengda til BC og AB.

Vis fasit

Den gitte sida AC er motståande katet til vinkel B, som har gitt tangens. Då kan vi bruke tangens til å finne hosliggjande katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AB.

tanB = ACBC AB2=AC2+BC2

35=3.0BC1NLøys:  {BC=5}AB2=3.02+522NLøys:  {AB=-5.83, AB=5.83}

Vi får at  BC=5.0  og  AB=5.8.

(Utrekninga i linje 1 hadde vi klart utan CAS òg...)

b) Bestem vinklane i trekanten.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel B og reknar i GeoGebra.

atand353  30.96°90-30.964  59.04°

B = 31°A = 59°

2.7.10

I den rettvinkla trekanten under er  tanB=35  og  BC=7,0.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel C er 90 grader og sida AB er 7,0. I tillegg er det gitt i oppgåva at tangens til vinkel B er lik 3 femdelar. Illustrasjon.

a) Bestem lengda til AC og AB.

Vis fasit

Den gitte sida BC er hosliggjande katet til vinkel B, som har gitt tangens. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggjande katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AB.

tanB = ACBC AB2=AC2+BC2

35=AC7.01NLøys:  {AC=4.2}AB2=4.22+7.022NLøys:  {AB=-8.16, AB=8.16}

Vi får at  AC=4,2  og  AB=8,2.

b) Bestem vinklane i trekanten.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel B og reknar i GeoGebra.

atand353  30.96°90-30.964  59.04°

B = 31°  A = 59°

(Trekanten er dermed formlik med trekanten i den førre oppgåva. Dette kunne vi sagt med éin gong ut ifrå at begge trekantane er rettvinkla og vinkel B er lik i trekantane fordi dei har same tangensverdi.)

2.7.11

a) Teikn ein rettvinkla trekant ABC der  tanB=35.

Vis fasit
Rettvinkla trekant A B C der vinkel A er den rette vinkelen. A B har lengda 5 og A C har lengda 3. Skjermutklipp.

b) Teikn ein rettvinkla trekant ABC der  tanC=12.

Vis fasit
Rettvinkla trekant A B C der vinkel A er den rette vinkelen. A B har lengda 1 og A C har lengda 2. Skjermutklipp.

c) Teikn ein rettvinkla trekant ABC der  tanB=3.

Vis fasit
Rettvinkla trekant A B C der vinkel A er den rette vinkelen. Sida A B er 1 og sida A C er 3. Skjermutklipp.

2.7.12

Måling av høgde på tre ved å måle siktevinkelen til 33 grader i ein avstand av 30 meter frå treet. Observatøren står i punkt B, treet står i punkt A og toppen av treet er punkt C. Illustrasjon.
Måling av høgde på tre ved hjelp av siktevinkel

Du skal finne høgda til eit tre i skulegarden. Dette kan gjerast ved at du går 30 meter bort frå treet. Du finn vinkelen mellom siktelinja til toppen av treet og bakken. Vinkelen måler du til 33 grader. Sjå figuren ovanfor. Kor høgt er treet?

Vis fasit

Treet blir motståande katet til vinkel B i den rettvinkla trekanten vi får av geometrien. Avstanden AB på 30 meter blir hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra.

tanB=ACAB

tan33°=AC301NLøys:  {AC=19.48}

Høgda på treet er 19 meter.

2.7.13

Du skal no saman med tre andre elevar finne eit stort tre eller ein høg bygning. De skal nytte framgangsmåten skissert i forrige oppgåve og finne høgda til det valde objektet. De må klart gjere greie for metoden de brukte for å finne vinkelen. Bruk to forskjellige metodar for vinkelmålinga, og vurder grad av nøyaktigheit. Kva utslag gir det på høgda til treet om vinkelen blir målt ein grad feil?

2.7.14

Måling av avstanden over Mandalselva ved å måle siktevinkelen til 84 grader i forhold til ei strekning parallell med elvebreidda. Illustrasjon.
Måling av avstanden over Mandalselva ved å måle siktevinkel

Hege vil berekne den kortaste avstanden over Mandalselva. Ho merkar seg ut ein stein på andre sida av elva der elva ser ut til å vere smalast. Ho merkjer så av to punkt, A og B, slik at  AB=10 m  og  A=90°. Ho måler og finn at  B=84°. Ho måler vidare avstanden frå punktet A og ut til elvebreidda til 8 m. Korleis kan no Hege berekne avstanden over elva?

Vis fasit

Avstanden AC frå punktet A over til steinen på den andre sida av elva blir motståande katet til vinkel B mens avstanden AB blir hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen på tangens og reknar i GeoGebra.

tanB=ACAB

tan84°=AC101NLøys:  {AC=95.14}

Vi må hugse på å trekkje frå avstanden frå A til elvebreidda. Breidda over elva blir då

95 m-8 m=87 m

2.7.15

Mens Maren og Naomi var på Sjøsanden, såg dei ein seglbåt langt ute på sjøen. Dei kjende igjen seglbåten og visste at mastehøgda var 12 meter over havflata. Dei ville no finne ut kor langt ute seglbåten var. Dei målte vinkelen mellom siktelinjene til mastetoppen på seglbåten og til vasslinja til båten til 1,5°. Dei berekna så avstanden til båten. Kva avstand fann dei?

Vis fasit

Mastehøgda på båten blir motståande katet til siktevinkelen. Avstanden ut til båten blir hosliggjande katet. Vi kallar avstanden ut til båten for x. Vi bruker definisjonen på tangens til siktevinkelen, og kan då setje opp likninga nedanfor som vi løyser i GeoGebra.

tan1.5°=12x1NLøys:  {x=458.26}

Avstanden ut til båten er omlag 460 m.

2.7.16

I eksempel 2 i teorien blei det beskrive korleis du kan berekne avstanden frå Sjøsanden til Hatholmen. Du skal no saman med tre andre elevar følgje denne framgangsmåten for å finne denne eller ein tilsvarande avstand. Som ein del av oppgåva må du lage ein vinkel på 90°. Beskriv korleis du gjer dette. Sjekk òg kva utslag det gir på avstanden om vinkelen blir målt ein grad feil.

2.7.17

Regn ut ukjende sider og vinklar i trapeset.

Trapes ABCD der vinkel A er lik vinkel B er lik 90 grader. AB er lik BC er lik 1,9 og AD er lik 4,5. Illustrasjon.
Vis fasit

Vi reknar først ut sida DE, som blir hosliggjande katet i den rettvinkla trekanten CDE.

DE=4,5-1,9=2,6

Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel D og reknar i GeoGebra.

tanD=CEDE

atand1.92.61  36.16°C:=90+180-90-36.22  C:=143.8°

D=36,2°

C =143,8°

Så bruker vi Pytagoras' setning og bestemmer CD.

CD2=CE2+DE2

CD2=1.92+2.623NLøys:  {CD=-3.22, CD=3.22}

CD=3.2

2.7.18

a) Rekn ut kor store kvar av vinklane i parallellogrammet under er.

Parallellogram ABCD der vinkel A er 51,7 grader, DC er 5,1 og avstanden frå D ned på AB er 2,1. Illustrasjon.
Vis fasit

C = A=51.7°D=B=90°+(180°-90°-51.7°)=128.3°

Den siste utrekninga gjer vi kanskje enklast med CAS i GeoGebra.

b) Rekn ut arealet til trapeset EBCD.

Trapes ABCD der vinkel A er lik vinkel B er lik 90 grader. AB er lik BC er lik 1,9 og AD er lik 4,5. Illustrasjon.
Vis fasit

Vi må rekne ut lengda EB. Det gjer vi ved å rekne ut lengda AE ved å bruke at trekanten AED er rettvinkla. Vi bruker definisjonen på tangens, og etterpå bruker vi formelen for arealet av eit trapes. Vi reknar alt i GeoGebra.

tanA=DEAE

tan51.7°=2.1AE1NLøys:  {AE=1.66}BE:=5.1-1.662  BE:=3.44Arealet:=BE+5.12·2.13  Arealet:=8.97

Arealet er 9,0.

c) Rekn ut omkrinsen til parallellogrammet.

Vis fasit

Vi finn først AD ved å bruke Pytagoras. Deretter kan vi rekne ut omkrinsen, og vi løyser med GeoGebra.

AD2=1.662+2.124NLøys:  {AD=-2.68, AD=2.68}Omkrinsen:=2·5.1+2.685  {Omkrinsen:=15.56}

Omkrinsen er 15,6.

2.7.19 (utan hjelpemiddel)

a) Teikn ein rettvinkla trekant ABC der  tanB=35  og  AC=6.

b) Teikn ein rettvinkla trekant ABC der  tanC=12  og  AC=6.

c) Teikn ein rettvinkla trekant ABC der  tanA=3  og  AC=1,2.

Vis fasit

a) I denne trekanten vil AC vere motståaende katet til vinkel B. Dersom vinkel A er den rette vinkelen, vil AB vere hosliggjande katet. Vi reknar ut kor lang AB må vere for at kravet skal vere oppfylt.

Rettvinkla trekant. Illustrasjon.

tanB = ACAB35=6AB3·AB=6·53AB=30AB=10

Rettvinkla trekant. Illustrasjon.

b) Her vil AB vere motståande katet til vinkel C. Dersom vinkel A er den rette vinkelen, vil AC vere hosliggjande katet. Vi reknar ut kva lengda AB må vere for at kravet skal vere oppfylt.

tanC = ABAC12=AB612·6=AB3=AB


Rettvinkla trekant. Illustrasjon.

c) Her vil BC vere motståande katet til vinkel A. Dersom vinkel C er den rette vinkelen, vil AC vere hosliggjande katet. Vi reknar ut kva lengda BC må vere for at kravet skal vere oppfylt.

tanA = BCAC3=BC1,23·1,2=BC3,6=BC

2.7.20

I trekanten ABC under er  tanB=35  og  AB=5,8. Bestem lengda til AC og BC.

Rettvinkla trekant der vinkel C er 90 grader og sida AB er 5,8. I tillegg er det opplyst at tangens til vinkel B er 3 femdelar. Illustrasjon.
Vis fasit

Oppgåva løysar vi enklast med å bruke den trigonometriske funksjonen sinus eller cosinus. Her viser vi korleis oppgåva kan løysast med tangens.

Vi finn AC uttrykt ved BC.

tanB = 35ACBC=35AC=35BC

Vi bruker så Pytagoras' setning og set opp ei likning for å finne BC. Vi løyser likninga i GeoGebra.

AB2 = AC2+BC2=35BC2+BC2

5.82=35·BC2+BC21NLøys:  {BC=-4.97, BC=4.97}AC:=35·4.972  AC:=2.98

Vi får at  AC=3,0  og  BC=5,0.