Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 1ChevronRight
  5. Sinus, cosinus og tangensChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Sinus, cosinus og tangens

Oppgåvene nedanfor kan løysast med alle hjelpemiddel viss det ikkje står noko anna.

2.6.21

Finn lengda av sida AC i den rettvinkla trekanten ABC under, der vinkel A er 90°, vinkel B er 32,0° og sida BC er 18,3.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel A er 90 grader, vinkel B er 32,0 grader og sida BC er 18,3. Illustrasjon.
Vis fasit

Sida AC som vi skal finne, er motståande katet til den oppgitte vinkelen B. Den oppgitte sida BC er hypotenusen i trekanten. Då kan vi bruke sinus til vinkel B for å løyse problemet. Vi set opp ei likning ut frå definisjonen på sinus og løyser i GeoGebra.

sinB=Motståande katetHypotenus=ACBC

sin32.0°=AC18.31NLøys:  {AC=9.7}

AC=9,7

2.6.22

Finn lengda av sida AB i den rettvinkla trekanten ABC under, der vinkel A er 90°, vinkel B er 19,0° og sida BC er 13,4.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel A er 90 grader, vinkel B er 19,0 grader og sida BC er 13,4. Illustrasjon.
Vis fasit

Sida AB som vi skal finne, er hosliggjande katet til den oppgitte vinkelen B. Den oppgitte sida BC er hypotenusen i trekanten. Då kan vi bruke cosinus til vinkel B for å løyse problemet. Vi set opp ei likning ut frå definisjonen på cosinus og løyser i GeoGebra.

cosB=Hosliggjande katetHypotenus=ABBC

cos19.0°=AB13.41NLøys:  {AB=12.67}

AB=12,7

2.6.23

Finn lengda av sida AC i den rettvinkla trekanten ABC under, der vinkel A er 90°, vinkel C er 47,0° og sida BC er 18,3.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel A er 90 grader, vinkel C er 47,0 grader og sida BC er 18,3. Illustrasjon.
Vis fasit

Sida AC som vi skal finne, er hosliggjande katet til den oppgitte vinkelen C. Den oppgitte sida BC er hypotenusen i trekanten. Då kan vi bruke cosinus til vinkel C for å løyse problemet. Vi set opp ei likning ut frå definisjonen på cosinus og løyser i GeoGebra.

cosC=ACBC

cos47.0°=AC18.31NLøys:  {AC=12.48}

AC=12,5

2.6.24

Finn lengda av sida AB i den rettvinkla trekanten ABC under, der vinkel C er 90°, vinkel A er 72,0° og sida BC er 274 m.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel C er 90 grader, vinkel A er 72,0 grader og sida BC er 274 meter. Illustrasjon.
Vis fasit

Sida AB som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte sida BC er motståande katet til den oppgitte vinkelen A. Då kan vi bruke sinus til vinkel A for å løyse problemet. Vi set opp ei likning ut frå definisjonen på sinus og løyser i GeoGebra.

sinA=BCAB

sin72.0°=274AB1NLøys:  {AB=288.1}

AB=288 m

2.6.25

Finn ukjende sider og vinklar i den rettvinkla trekanten ABC, der vinkel B er 90°, vinkel A er 26,6° og sida BC er 274 m.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel B er 90 grader, vinkel A er 26,6 grader og sida BC er 274 meter. Illustrasjon.
Vis fasit

Den ukjende sida AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte sida BC er motståande katet til den oppgitte vinkelen A. Då kan vi bruke sinus til vinkel A for å finne AC.

Den ukjende sida AB, som er hosliggjande katet, kan vi finne på same måte med tangens til vinkel A (eller med pytagorassetninga når vi har funne AC).

Vi set opp likningar ut frå definisjonane på sinus og tangens og løyser i GeoGebra.

sinA = BCACtanA=BCAB

sin26.6°=274AC1NLøys:  {AC=611.94}tan26.6°=274AB2NLøys:  {AB=547.17}C:=90-26.63  C:=63.4

AC = 612 mAB= 547 m

C=63,4°

2.6.26

Finn dei ukjende sidene i trekantane under.

a)

Rettvinkla trekant ABC der vinkel B er 90 grader, vinkel C er 61,5 grader og sida AC er 3,5. Illustrasjon.
Vis fasit

Den ukjende sida AB som vi skal finne, er motståande katet til den oppgitte vinkelen C. Den oppgitte sida AC er hypotenusen i trekanten. Då kan vi bruke sinus til vinkel C for å finne AB.

Den ukjende sida BC, som er hosliggjande katet, kan vi finne tilsvarande med cosinus til vinkel C (eller med pytagorassetninga når vi har funne AB).

Vi set opp likningar ut frå definisjonane på sinus og cosinus og løyser i GeoGebra.

sinC = ABACcosC=BCAC

sin61.5°=AB3.51NLøys:  {AB=3.08}cos61.5°=BC3.52NLøys:  {BC=1.67}

AB = 3,1

BC=1,7

b)

Rettvinkla trekant ABC der vinkel B er 90 grader, vinkel C er 50,1 grader og sida AB er 3,1. Illustrasjon.
Vis fasit

Den ukjende sida AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte sida AB er motståande katet til den oppgitte vinkelen C. Då kan vi bruke sinus til vinkel C for å finne AC.

Den ukjende sida BC, som er hosliggjande katet, kan vi finne tilsvarande med tangens til vinkel C (eller med pytagorassetninga når vi har funne AC).

Vi set opp likningar ut frå definisjonane på sinus og cosinus og løyser i GeoGebra.

sinC = ABACtanC=ABBC

sin50.1°=3.1AC1NLøys:  {AC=4.04}tan50.1°=3.1BC2NLøys:  {BC=2.59}

AC=4,0

BC=2,6

c)

Rettvinkla trekant ABC der vinkel B er 90 grader, vinkel C er 63,3 grader og sida BC er 1,6. Illustrasjon.
Vis fasit

Den ukjende sida AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte sida BC er hosliggjande katet til den oppgitte vinkelen C. Då kan vi bruke cosinus til vinkel C for å finne AC.

Den ukjende sida AB, som er motståande katet, kan vi finne tilsvarande med tangens til vinkel C (eller med pytagorassetninga når vi har funne AC).

Vi set opp likningar ut frå definisjonane på sinus og cosinus og løyser i GeoGebra.

cosC = BCACtanC=ABBC

cos63.3°=1.6AC1NLøys:  {AC=3.56}tan63.3°=AB1.62NLøys:  {AB=3.18}

AC=3,6

AB=3,2

2.6.27 (utan hjelpemiddel)

I trekanten ABC under er  sinA=35  og  AB=5,0.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel C er 90 grader og sida AB er 5,0. I tillegg er sinus til vinkel A lik 3 femdelar. Illustrasjon.

a) Bestem lengda til BC og AC.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen til sinus på vinkel A i trekanten.

sinA = BCAB35=BC5,0BC=3,0

Så kan vi bruke Pytagoras si setning til å finne AC.

AC2 = AB2-BC2=5,02-3,02=25,0-9,0=16,0AC=4,0

b) Bestem  cosA  og  tanA.

Vis fasit

cosA = ACAB=45tanA=BCAC=34

c) Bestem  sinB, cosB  og  tanB.

Vis fasit

sinB = cosA=45cosB=sinA=35tanB=ACBC=43

2.6.28 (utan hjelpemiddel)

I trekanten ABC under er  cosB=25  og  AB=2,0.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel A er 90 grader og sida AB er 5,0. I tillegg er cosinus til vinkel B lik 2 femdelar. Illustrasjon.

a) Bestem lengda til BC og AC. Oppgi svara eksakt.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen til cosinus på vinkel B.

cosB = ABBC25=2,0BCBC=5,0

Så kan vi bruke Pytagoras si setning til å finne AC.

AC2 = BC2-AB2=5,02-2,0225,0-4,0=21,0AC=21,0

b) Bruk eksakte verdiar og bestem  sinB  og  tanB.

Vis fasit

sinB = ACBC=215tanB=ACAB=212

c) Bestem  sinC, cosC  og  tanC.

Vis fasit

cosC = sinB=ACBC=215sinC=cosB=25tanC=ABAC=2,021,0=22121

2.6.29 (utan hjelpemiddel)

I trekanten under er  sinA=15  og  AB=20,0.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel C er 90 grader og sida AB er 20,0. I tillegg er sinus til vinkel A lik 1 femtedel. Illustrasjon.

a) Bestem lengda til BC og AC.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen til sinus på vinkel A.

sinA = BCAB15=BC20,0BC=4,0

Så kan vi bruke Pytagoras si setning til å finne AC.

AC2 = AB2-BC2AC2=20,02-4,02=400-16AC=384AC=4·4·4·6AC=86

b) Bruk eksakte verdiar og bestem  cosA  og  tanA.

Vis fasit

cosA = ACAB=8620=265tanA=BCAC=486=62·6=612

c) Bestem  sinB, cosB  og  tanB.

Vis fasit

cosB = sin A=15sinB=cos A=265tanA=ACBC=864=26

2.6.30 (utan hjelpemiddel)

I trekanten ABC er  sinC=13  og  AB=2,0.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel A er 90 grader og sida AB er 2,0. I tillegg er sinus til vinkel C lik 1 tredjedel. Illustrasjon.

a) Bestem lengda til AC og BC. Oppgi svara eksakt.

Vis fasit

Vi finn først BC ved å bruke definisjonen til sinus på vinkel C.

sinC=ABBC13 = 2,0BCBC·1=2,0·3BC=6,0

Så kan vi bruke Pytagoras si setning til å finne AC.

AC2 = BC2-AB2=6,02-2,02=36,0-4,0=32,0AC=32=16·2=42

b) Bruk eksakte verdiar og bestem  cosC  og  tanC.

Vis fasit

cosC = ACBC=426=223tanC=ABAC=242=24

c) Bestem  sinB, cosB  og  tanB.

Vis fasit

cosB = sinC=13sinB=cosC=223tanB=ACAB=422=22

2.6.31 (utan hjelpemiddel)

Gitt den rettvinkla trekanten ABC, sjå figuren.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel A er 90 grader, sida AB er 2,0, sida AC er 9,8 og sida BC er 10. Illustrasjon.

a) Bestem  sinC  og  cosC.

Vis fasit

sinC = 2,010=0,2cosC=9,810=0,98

b) Bestem  tanB, sinB  og  cosB.

Vis fasit

tanB = 9,82,0=4,9cosB=sinC=2,010=0,2sinB=cosC=9,810=0,98

2.6.32

Rekn ut kor store kvar av dei ukjende vinklane i den rettvinkla trekanten ABC under er.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel B er 90 grader, sida AB er 9,2 og sida AC er 12,4. Illustrasjon.
Vis fasit

Vi har oppgitt begge vinkelbeina til vinkel A. Sida AB er hosliggjande katet, og sida AC er hypotenus i trekanten. Då kan vi bruke cosinus til vinkel A.

Vi set opp ei likning ut frå definisjonen på cosinus og løyser i GeoGebra.

cosA=ABAC

acosd9.212.41  42.1°C:=90-42.12  C:=47.9

A = 42,1°C=47,9°

2.6.33

En stige på 8,5 meter står opp mot en husvegg slik at stigen danner vinkelen 72 grader med bakken. Vinkelen mellom bakken og husveggen er 90 grader. Illustrasjon.

Ein 8,5 meter lang stige står mot ein husvegg og dannar vinkelen 72° med bakken. Vinkelen mellom bakken og husveggen er 90°.

a) Kor høgt står stigen på veggen?

Vis fasit

Vi kallar høgda for h. Høgda opp langs veggen blir motståande katet til vinkelen på 72°. Stigen blir hypotenusen. Då kan vi bruke definisjonen av sinus til vinkelen på 72° for å løyse oppgåva, som vi løyser med GeoGebra.

sin72°=h8.51NLøys:  {h=8.08}

h=8,1 m

b) Kor langt frå veggen står stigen?

Vis fasit

La avstanden til veggen vere x, som blir hosliggjande katet til vinkelen på 72°. Då passar det å bruke cosinus, og vi løyser oppgåva med GeoGebra.

cos72°=x8.52NLøys:  {x=2.63}

x=2,6 m

2.6.34

I ein rettvinkla trekant er den eine vinkelen 27°. Den hosliggjande kateten til denne vinkelen er 3,5 meter. Finn lengda av den andre kateten og hypotenusen.

Vis fasit

Vi kallar den andre kateten for k og hypotenusen for h. Når vi kjenner den hosliggjande kateten til vinkelen, kan vi bruke tangens for å finne k og cosinus for å finne h. Vi løyser oppgåva med GeoGebra.

tan27°=k3.51NLøys:  {k=1.78}cos27°=3.5h2NLøys:  {h=3.93}

k = 1,8 mh=3,9 m

Læringsressursar

Trigonometri 1