Hopp til innhald

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. Generelt om rasjonale funksjonarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagstoff

Generelt om rasjonale funksjonar

Vi skal sjå at grafen til ein rasjonal funksjon ikkje er ein enkel, samanhengande graf.

Ein rasjonal funksjon er ein funksjon som kan skrivast som ein brøk der teljaren og nemnaren er polynom.

Eksempel

Funksjonen f gitt ved fx=x-2x+2 er ein rasjonal funksjon.

Ein brøk er ikkje definert når nemnaren er lik null. Det betyr at f(-2) ikkje eksisterer. Grafen har ikkje noko punkt for x=-2. Vi seier at grafen har eit brot for x=-2.

Vi teiknar grafen av f i GeoGebra og skriv også inn kommandoen Asymptote[f].

Rasjonal graf med asymptotar. Bilete.

Legg merke til at grafen er symmetrisk om skjeringspunktet mellom asymptotane.

Kva er asymptotar?

Når x nærmar seg verdien 2 frå venstre, kan det sjå ut som om funksjonsverdiane veks over alle grenser.

Det kan visast at dette er riktig. Funksjonsverdiane nærmar seg ikkje ein bestemt verdi når x nærmar seg verdien 2 frå venstre, men blir uendeleg store.

Vi skriv

fx når x-2-

Vi les "fx går mot uendeleg når x går mot 2 frå venstre".

Tilsvarande viser det seg at funksjonsverdiane søkk mot minus uendeleg når x nærmar seg 2 frå høgre. Vi skriv

fx- når x-2+

Legg merke til + og - som markerer om x nærmar seg 2 frå venstre eller frå høgre.

Du kan undersøkje om dette er sannsynleg ved å setje inn verdiar for x som er veldig nær 2.

Grafen av f består av to delar, ein del til venstre for linja x=-2 og ein del til høgre for linja x=-2. Linja x=-2 kallar vi ein loddrett eller vertikal asymptote.

Det kan vidare visast at grafen «flatar ut» og nærmar seg linja y=1 når x går mot pluss eller minus uendeleg. Det vil seie at funksjonsverdiane nærmar seg verdien 1 som grenseverdi når x går mot pluss eller minus uendeleg, men utan nokon gong å bli lik 1.

Den eine delen av grafen nærmar seg linja ovanfrå og den andre delen nedanfrå. Dei to delane av grafen vil aldri krysse linja. Linja y=1 er ein vassrett eller horisontal asymptote.