Hopp til innhald

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. SannsynChevronRight
  4. Sannsyn i uniforme modellar. Addisjon av sannsynChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Sannsyn i uniforme modellar. Addisjon av sannsyn

Det er viktig å forstå skilnaden på ei hending og eit utfall.

Hending

Ei hending i ein sannsynsmodell er sett saman av eitt eller fleire utfall.

Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast av éin terning»

Terning
Tall på auge123456
Sannsyn161616161616

Et døme på ei hending er å få eit partal tal auge. Vi kan kalle dette for hendinga A.

A: Å få eit partal tal auge ved kast av ein terning


Addisjonssetninga for éi hending

Hendinga A ovanfor inntreffer når eitt av utfalla 2, 4 eller 6 inntreffer. Den relative frekvensen for hendinga A må da vere summen av dei relative frekvensane for utfalla 2, 4 og 6. Det tyder igjen at sannsynet for hendinga A er summen av sannsyna for utfalla 2, 4 og 6.

Vi får derfor

PA=P2+P4+P6=16+16+16=36=12

Sannsynet for ei hending finn vi ved å summere sannsyna for dei utfalla som inngår i hendinga.

Kast av to tikronar

Då du gjorde forsøket med å kaste 2 pengestykke, registrerte du sikkert at utfalla KK og MM fekk tilnærma same relative frekvens. Dersom du hadde registrert MK og KM kvar for seg, ville du ha oppdaga at også desse utfalla hadde tilnærma den same relative frekvensen.


Myntkast

Når vi kastar to tikronar, har vi altså 4 moglege utfall. Alle utfalla har like sannsyn.

Ei hending kan her vere å få ein kron og ein mynt, utan omsyn til rekkjefølgje. Vi kallar dette for hendinga B.

B: Å få ein kron og ein mynt, same kva for rekkjefølgje.

Sannsynet for B blir

PB=PMK+PKM=14+14=24=12

Vi legg altså saman sannsyna for dei enkelte utfalla som hendinga omfattar.

Sannsynsmodellen for kast av to pengestykke blir

UtfallTo kronÉin mynt og éi kronTo mynt
Sannsyn 0,250,50
0,25

Sannsynet for hendinga «ikkje A»

Vi veit at samla sannsyn for alle utfalla i et terningkast er lik 1. Det tyder at ved kast av en terning er

PÅ  eit partal tal auge+PÅ ikkje  eit partal tal auge=1

Det tyder at

P(Å ikkje få eit partal tal auge)=1-P(Å få eit partal tal auge)

Vi ga ovanfor hendinga «Å få et partal tal auge ved kast av en terning» namnet A.

Det gir

P(ikkje A)=1-P(A)

Vi innfører en egen skrivemåte for «ikkje A»: A¯.

Det gir

PA¯=1-PA

Denne regelen gjelder for alle hendingar.

For alle hendingar gjelder at

PA¯=1-PA


A¯ tyder «ikkje A ».

Sannsyn i uniforme modellar. Gunstige og moglege utfall

Vi ser vidare på det tilfeldige forsøket «Kast av ein terning» med sannsynsmodellen nedanfor

Terning
Tal på auge
123456
Sannsyn161616161616

Vi såg ovanfor på hendinga

A: Å få eit partal tal auge ved kast av ein terning

Vi har

PA=P2+P4+P6=16+16+16=36=12

Alle utfalla som hendinga omfattar kallar vi gunstige utfall for hendinga. For kast med éin terning er 2, 4 og 6 dei tre gunstige utfalla for hendinga A.

Vi lar g stå for talet på gunstige utfall for hendinga A og m for talet på moglege utfall.

Dersom vi dividerer tal gunstige utfall med tal moglege utfall, får vi gm=36=12. Det er det same som vi fekk da vi rekna ut sannsynet for A ovanfor.

Dette gjeld alltid for sannsyn for hendingar i uniforme modellar:

I ein uniform sannsynsmodell er alle utfall like sannsynlege. Sannsynet for ei hending A er gitt ved

PA=gm=talet  gunstige utfall for Atalet  moglege utfall


Addisjon for fleire hendingar

Lærer underviser elever i Venndiagram i Uganda. Foto.
Venndiagram brukast over heile verda. Her frå ein skuleklasse i Uganda.

Vi held fram med forsøket «kast av 1 terning»

Vi definerer hendingane

A : Å få eit partal tal auge

B : Å få fem eller fleire auge

Vi kan illustrere med eit såkalla Venndiagram.

Hendinga A har tre gunstige av 6 mogelege utfall.

PA=36=12

Hendinga B har to gunstige av 6 mogelege utfall.

PB=26=13

Vi definerer to nye hendingar

AB er sett saman av dei utfalla som er med i anten A eller B eller i både A og B.
AB blir lese som «A union B»

AB er sett saman av alle utfall som er med i både A og B.
AB blir lese som «A snitt B»

For hendinga AB må terningen vise eit partal tall auge eller fem eller fleire auge eller begge deler. Vi får då fire gunstige utfall, ein toar, ein firar, ein femmar og ein seksar. Sjå Venndiagrammet. Det tyder at

PAB=46=23

For hendinga AB må terningen vise eit partal tal auge og samstundes fem eller fleire auge. Vi får då bare eitt gunstig utfall, at terningen viser ein seksar. Det tyder at

P(AB)=16

Vi ser at også for samansette hendingar i ein uniform sannsynsmodell kan vi berekne sannsynet ved å telle opp tal på gunstige og tal på moglege utfall.

Vi såg at sannsynet for éi hending er lik summen av sannsynet for dei utfalla som inngår i hendinga.
Kan vi tilsvarande finne sannsynet for fleire hendingar ved å summere sannsynet for enkelthendingar?

Vi undersøkjer om PAB er lik P(A) pluss P(B).

Vi så ovanfor at PAB=46og at PA+PB=36+26=56

Vi får 16 for mye når vi adderer sannsynet for enkelthendingane.

Men vi så også at PAB=16.

Utfallet «å få ein seksar» er med i både hendinga A og i hendinga B . Sannsynet for dette utfallet er difor tatt med to gonger når vi adderer sannsynet for enkelthendingane. Vi må difor trekkje frå sannsynet for dette utfallet éi gong. Da får vi at

PAB=PA+PB-PAB    46 =  36  + 26 - 16

Dette gjeld ålment, også for sannsynsmodeller som ikkje er uniforme.

Den ålmenne addisjonssetninga for sannsyn

PAB=PA+PB-PAB

AB er sett saman av dei utfalla som er med i anten A eller B eller i både A og B.
AB blir lese som «A union B».

AB er sett saman av alle utfall som er med både A og B.

AB blir lese som «AsnittB».

Læringsressursar

Sannsyn

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter