Hopp til innhald

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. FormlikskapChevronRight
  5. Bruk av formlikskap for å rekne ut ukjende sider i trekantarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Bruk av formlikskap for å rekne ut ukjende sider i trekantar

Normalt må det først visast at trekantane er formlike ved å vise at vinklane er parvis like. Så bruker vi dei like forholda mellom tilsvarande sider til å rekne ut ukjende sider. Du kan for eksempel rekne ut høgda på tre, fjell og høge bygnader berre ut i frå målingar gjort på bakkenivå.

Eksempel 1

Trekantane ABC og ΔDEF er formlike. Rekn ut lengdene av dei ukjende sidene.

Formlike trekanter

Her ser vi at sidene AB og DE er tilsvarande sider fordi begge er motståande sider til vinklane på 88,7°. Sidene AF og DF ligg begge motsatt av vinklane som er 63,4° og er også tilsvarande. Det same er sidene BC og EF.

Vi kan finne dei ukjende sidene ved å bruke målestokken.

Vi reknar ut målestokken når vi går frå ΔDEF til  ΔABC . Målestokken er

ABDE=96=1,5

Det tyder at

AC=DF·1,5=5,4·1,5=8,1.

Når vi går motsett veg, må vi dele med målestokken. Det tyder at

EF=BC1,5=4,21,5=2,8

Eksempel 2

Eit tre står på ei horisontal slette. Vi skal finne ut kor høgt treet er utan å felle det.

Utstyr: Sol og metermål

Vi set ein pinne ned i bakken litt bortanfor treet og måler avstanden skyggen kastar ved pinnen og ved treet. Sjå figuren nedanfor.

To formlike trekantar. Illustrasjon.

Både pinnen og treet dannar ein vinkel på 90° med bakken, og solstrålane dannar same vinkel med bakken der pinnen står som der treet står. Vi får difor to formlike trekantar, og det går fram av figuren kva for sider som er tilsvarande.

Vi reknar ut målestokken når vi går frå den minste trekanten til den største trekanten

Målestokken  =  15 m1,2 m=12,5Høgda av treet= 1,0 m·12,5 m= 12,5 m

Legg merke til at vi òg kan finne den ukjende sida ved å bruke likning.

Vi set høgda av treet lik x, og sidan forholdet mellom tilsvarande sider er konstant, kan vi setje opp og løyse likninga

x1,0 = 151,2    x=12,5·1,0    x=12,5

Treet er 12,5 meter høgt.

Eksempel 3

To formlike trekantar. Illustrasjon.

På figuren er AB og DE parallelle. Linjestykkene AE og BD skjer kvarandre i C .

Oppgåve

Vis at ACB og EDC er formlike, og bruk dette til å rekne ut lengda av sida BC .

Løysing

ACB=DCE sidan desse er toppvinklar. Då er sidene AB og ED tilsvarande sider.

BAC=CDE fordi venstre vinkelbein er felles og høgre vinkelbein er parallelle i dei to vinklane. (Samsvarande vinklar ved parallelle vinkelbein).

Formlike trekanter

Sidene BC og EC er då tilsvarande sider fordi dei er motståande sider til like store vinklar.

Vinklane i dei to trekantane er parvis like store, og trekantane er formlike.
Vi reknar ut målestokken når vi går frå den minste trekanten til den største

Målestokken=150 cm60 cm=2,5

Då er

BC=45 cm·2,5=113 cm

Også her kan vi setje opp og løyse ei likning sidan forholdet mellom tilsvarande sider er konstant.

Det er lurt å alltid byrje med den ukjende sida.

        BCEC = ABDE    BC45 cm=150 cm60 cmBC·45 cm45 cm=150 cm·45 cm60 cm          BC=113 cm
B C delt på 45 \

Løyser oppgåva med CAS i GeoGebra:

Læringsressursar

Formlikskap

Kva er kjernestoff og tilleggsstoff?
SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

  • SubjectMaterialFagstoff

    Formlikskap

  • SubjectMaterialFagstoff

    Skisser og perspektiv

    Tilleggsstoff er fagstoff
    AdditionalTilleggstoff
SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter