Hopp til innhald

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. Funksjonar i praksisChevronRight
  4. VekstfartChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Vekstfart

Oppgåvene kan løysast med hjelpemiddel.

6.1

Funksjonane g, h og i er gitte ved funksjonsuttrykka nedanfor. For kvar av funksjonane skal du først teikne grafen. Deretter vel du ut 2 punkt på grafen og brukar desse punkta til å rekne ut vekstfarten. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstalet du kan lese direkte av grafen.

a) gx=2x+4

vis fasit
g av x er lik 2 x pluss 4.Graf.

Vekstfart =4-00-(-2)=42=2.

Vi ser at vekstfarten er lik stigningstalet.

b) hx=-x-8

vis fasit
h av x er lik minus x minus 8. Graf.

Vekstfart =-4-2-4-(-10)=-66=-1.

Vi ser at vekstfarten er lik stigningstalet.

c) ix=12x

vis fasit
i av x er lik 12 x. graf.

Vekstfart =12-(-12)1-(-1)=242=12.

Vi ser at vekstfarten er lik stigningstalet.

6.2

Funksjonane g, h, i og f er gitte ved funksjonsuttrykka nedanfor. For kvar av funksjonane skal du velje ut to verdiar for x . Deretter reknar du ut vekstfarten ved å rekne ut funksjonsverdiane til dei valde x-verdiane. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstalet du kan lese direkte av funksjonsuttrykket.

a) gx=2x+4

vis fasit

Eg vel ut verdiane  x1=2  og  x2=4. Eg skriv inn funksjonen på skrivelinja i GeoGebra og reknar i CAS.

g(4)-g(2)4-212

Vi ser at vekstfarten er lik stigningstalet.

b) hx=-3x+2

vis fasit

Eg vel ut verdiane  x1=2  og  x2=4. Eg skriv inn funksjonen på skrivelinja i GeoGebra og reknar i CAS.

h(4)-h(2)4-21-3

Vi ser at vekstfarten er lik stigningstalet.

c) ix=600+5x

vis fasit

Eg vel ut verdiane  x1=2  og  x2=4. Eg skriv inn funksjonen på skrivelinja i GeoGebra og reknar i CAS.

i(4)-i(2)4-215

Vi ser at vekstfarten er lik stigningstalet.

d) fx=-23x+7

vis fasit

Eg vel ut verdiane  x1=2  og  x2=4. Eg skriv inn funksjonen på skrivelinja i GeoGebra og reknar i CAS.

f(4)-f(2)4-21-23

Vi ser at vekstfarten er lik stigningstalet.

Kronhjort med sitt harem. Bilde.

6.3 (Eksamen 1P våren 2013)

Funksjonen h gitt ved

ht=3,25t3-50t2+170t+700

var ein god modell for hjortebestanden i ein kommune i perioden 1990-2000. Ifølgje modellen var det h(t) hjort i kommunen t år etter 1. januar 1990.

a) Teikn grafen til h for  0t10 .

vis fasit

Eg teiknar grafen i GeoGebra. Brukar kommandoen «Funksjon[funksjon, start, slutt]».

h av t er lik 3 komma 25 t i tredje minus 50 t i andre pluss 170 t pluss 700. Graf.

b) Kva tid var hjortebestanden størst, og kor mange hjort var det i kommunen då?

vis fasit

Brukar kommandoen «Ekstremalpunkt[polynom]» og finn toppunktet på grafen til h.

h av t er lik 3 komma 25 t i tredje minus 50 t i andre pluss 170 t pluss 700 med toppunket 2 komma 15 866 komma 67 markert. Graf.

Hjortebestanden var størst litt ut i 1992. Han var då på 867 dyr.

c) Løys likninga  h(t)=850  grafisk, og forklar kva løysinga fortel om hjortebestanden.

vis fasit

Legg inn ei linje  y=850  i same koordinatsystem som grafen til h.
Finn skjeringspunkta mellom denne linja og grafen til h ved å bruke kommandoen «Skjering mellom to objekt».

h av t er lik 3 komma 25 t i tredje minus 50 t i andre pluss 170 t pluss 700 med skjæringspunktene til y=850 er 1 komma 42 850 og 2 komma 95 850. Graf.

Hjortebestanden er på 850 dyr 1,4 år og 2,9 år etter 1990. Det vil seie midt i 1991 til rett før årsskiftet 1993-1994.

d) Kor stor var den gjennomsnittlege endringa i talet på hjort per år i perioden 1. januar 1994 – 1. januar 1998?

vis fasit

Brukar CAS-verktøyet i GeoGebra og finn:

h(8)-h(4)8-41-66

Vi finn at hjortebestanden går ned i gjennomsnitt med 66 dyr kvart år i denne perioden.

6.4

Grafen til ein lineær funksjon går gjennom to oppgitte punkt. Rekn ut stigningstalet a til grafen når dei oppgitte punkta er

a) (3, 7) og (5, 9).

vis fasit

a=9-75-3=22=1

b) (-1, -8) og (-4, 1).

vis fasit

a=-8-1-1-(-4)=-93=-3

6.5

Du får oppgitt at funksjonen f er ein lineær funksjon. Du får vidare oppgitt at  f(-2)=-3  og at  f(4)=9. Finn vekstfarten a til f.

vis fasit

a=f(4)-f(-2)4-(-2)=9-(-3)4-(-2)=126=2

6.6

Morelltre i blomstring. Bilde.

Funksjonen

hx=-0,003x3+0,09x2+1

viser høgda i meter til eit morelltre dei 20 første åra etter at det vart planta i 1986.

a) Finn grafisk kor mykje treet vaks i gjennomsnitt per år i perioden 1994 til 1999.

vis fasit
h av x er lik minus 0 komma 003 x i tredje pluss 0 komma 09 x i andre pluss 1. Graf.

Vi ser grafisk (stigningstalet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vaks 88 cm per år i perioden 1994 til 1999.

b) Finn vidare kor mykje treet vaks i gjennomsnitt per år i perioden 2003 til 2006.

vis fasit
h av x er lik minus 0 komma 003 x i tredje pluss 0 komma 09 x i andre pluss 1. Graf.

Vi ser grafisk (stigningstalet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vaks 24 cm per år i perioden frå 2003 til 2006.

6.7

Funksjonane f og g er gitt ved

fx=-0,5x3+3x2-3x+3

og

gx=0,20x3-0,60x2+4

For kvar av funksjonane skal du

a) Finne gjennomsnittleg vekstfart når x veks frå  x1=1 til x2=2.

vis fasit

Eg skriv inn begge funksjonane på skrivelinja i GeoGebra og reknar i CAS:

f(2)-f(1)2-112.5g(2)-g(1)2-12-0.4

b) Finne gjennomsnittleg vekstfart når x veks frå  x1=1  til  x2=1,1.

vis fasit

f(1.1)-f(1)1.1-111.65g(1.1)-g(1)1.1-12-0.6

c) Samanlikn svara i a) og b). Kva for eit av desse svara gir ein mest korrekt verdi for vekstfarten når  x=1?

vis fasit
f av x er lik minus 0 komma 5 x i tredje pluss 3 x i andre minus 3 x pluss 3 . Graf.

Figuren viser at vi får mest riktig verdi for vekstfarten når vi let x auke frå 1 til 1,1.

6.8

Forskarar har undersøkt veksten til tre i eit bestemt skogområde. Det viser seg at høgda til eit tre, h(t), målt i meter tilnærma kan beskrivast med ein matematisk modell. Dei første åtte åra gjeld funksjonen

ht=0,02t3-0,25t2+1,15t+0,15

der t er antall år etter utplanting.

a) Kva er den gjennomsnittlege vekstfarten frå år 1 til år 4?

vis fasit

Eg skriv inn funksjonen på skrivelinja i GeoGebra og reknar i CAS:

h(4)-h(1)4-110.32

b) Skriv nokre ord om korleis høgda til treet endrar seg frå år til år.

vis fasit
h av t er lik 0 komma 02 t i tredje minus 0 komma 25 t i andre pluss 1 komma 15 t pluss 0 komma 15. Graf.

Ut frå grafen til høgdefunksjonen kan vi lese følgjande:
Treet veks raskt dei første to åra. Dei neste fire åra er veksten mindre. Dei siste to åra er veksten igjen mykje større.
Det ser ut til at veksten er veldig stor den første tida etter planting. Så går veksten gradvis ned fram mot år 4. Deretter aukar veksten stadig sterkare.

6.9

Funksjonen f gitt ved fx=x2+x-6 ,   Df=R.

a) Finn grafisk den momentane vekstfarten til f for  x=-2, x=-1, x=0  og x=1.

vis fasit

Eg finn først punkta på grafen med dei aktuelle x-verdiane. Til dømes når  x=1, så har punktet på grafen koordinatane (1, f(1)).
Eg finn så likningane for tangentane til grafen i dei aktuelle punkta med kommandoen «Tangentar».

Stigningstala til desse tangentane er lik den momentane vekstfarten for dei aktuelle x-verdiane.

f av x er lik x i andre pluss x minus 6. Graf.

Den momentane vekstfarten når  x=-2  er -3.

Den momentane vekstfarten når  x=-1  er -1.

Den momentane vekstfarten når  x=0  er 1.

Den momentane vekstfarten når  x=1  er 3.

b) Ser du nokon samanheng mellom forteiknet til den momentane vekstfarten og forma til grafen?

vis fasit

Når forteiknet til den momentane vekstfarten er negativt, søkk grafen når vi går frå venstre mot høgre.
Når forteiknet til den momentane vekstfarten er positivt, stig grafen når vi går frå venstre mot høgre.

Eksempeloppgåve 1P + 2P, desember 2007

Nedanfor er det skildra 6 ulike situasjonar. For kvar situasjon skal du finne ein funksjon som skildrar situasjonen.

Tre av funksjonane finn du her:

Ax = 1,60x+125Bx=100x-x2Cx=100·0,95x

Dei tre andre skal du finne fram til på eiga hand.

Situasjon 1, 2 og 3

Ein teleoperatør opererer med følgjande alternativ for mobilabonnement:

Prisplan

Situasjon 1
(Alternativ 1)

Situasjon 2
(Alternativ 2)

Situasjon 3
(Alternativ 3)

Månadsavgift (kr)

60

125

240

Samtalepris per minutt (kr)

2,50

1,60

1,10

Finn tre ulike funksjonar som skildrar kvart av dei tre alternativa i tabellen ovanfor.

vis fasit

Situasjon 1: f(x) = 2,50x+60Situasjon 2: A(x )=1,60x +125Situasjon 3: g(x)=1,10x +240

Kjøttmeis i treet. Bilde.

Situasjon 4

Frå mellom anna studiar av ringmerka kjøttmeisar har ein funne ut at innanfor eit bestemt område døyr 48 % av desse kjøttmeisane i løpet av eitt år. Eitt år vart det ringmerka 350 kjøttmeisar i dette området. Finn ein funksjon som seier kor mange av dei ringmerka kjøttmeisane som lever etter x år.

vis fasit

Situasjon 4:

h(x)=350(1-0,48)x=350·0,52x

Areal av rektangel. Bilde.

Situasjon 5

Ein gardbrukar har 200 meter gjerde og skal lage ei rektangulær innhegning. Rektangelet er x meter langt. Finn ein funksjon som viser kor stort areal rektangelet får for ulike verdiar av x .

vis fasit

Situasjon 5:

B(x)=(2002-x)·x=100x-x2

Dykker tar bilder under vann. Bilde.

Situasjon 6

Lysstyrken under vatn minkar med ca. 5 % for kvar meter ein er under havoverflata. Dette betyr at på ei djupne er lysstyrken 5 % mindre enn 1 meter høgare oppe. Finn ein funksjon som viser lysstyrken x meter under havoverflata.

vis fasit

Situasjon 6:

C(x)=100(1-0,05)x=100·0,95x

(Set lysstyrken i overflata til 100 %.)

Læringsressursar

Funksjonar i praksis

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter