Hopp til innhald

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. Funksjonar i praksisChevronRight
  4. Lineære funksjonarChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Lineære funksjonar

Oppgåver som skal løysast utan hjelpemiddel er merka med dette. Dei andre kan løysast med hjelpemiddel.

1.1 (Utan hjelpemiddel)

Marker punkta (1, 1), (-1, -2), (-2, 1), (2, -3), (3, 0) og (0, -2) i eit koordinatsystem.

vis fasit
Koordinatsystem med punkter. Bilde.

1.2

Gitt koordinatsystemet nedanfor. Gi opp koordinatane for punkta A til I.

Koordinatsystem med punkter. Illustrasjon.
vis fasit

A(-4, 3), B(-1, 4), C(0, 2),D(-4, -1), E(-1, 0), F(3, -1),G(0, 4), H(3, 4), I(4, 0) 

Utfordring!
Kan du finne avstanden frå origo til punktet H?

vis fasit

x2=32+42x2=25x=25=5

Avstanden frå origo til punktet H er 5.

1.3

Skriv opp funksjonsuttrykket for ein funksjon som

  1. viser kva du må betale for x liter mjølk når kvar liter kostar 12,40 kroner.
    vis fasit

    f(x)=12,40x

  2. viser strekninga du har køyrd etter t timar når farten er 80 km/time.
    vis fasit

    f(t)=80t

1.4 (Utan hjelpemiddel)

Mann som jogger. Foto.

Dei beste maratonløparane i verda spring med tilnærma konstant fart og brukar ca. 2 timar og 4 minutt på ein maraton (42 195 meter).

  1. Kor mange km spring desse løparane per minutt?
    vis fasit

    2 timar og 4 minutt er 124 minutt.

    Distanse per minutt: 42195 m124 min340 m/min

  2. Lag ein funksjon som viser samanhengen mellom distansen, d, løparane spring og tida, t.
    vis fasit

    d(t)=340·t

  3. Lag ein verditabell for følgjande t-verdiar: 30, 60, 90, 120.
    vis fasit
    Verditabell
    t
    30 60 90 120
    d(t)
    10200 20400 30600 40800
  4. Teikn grafen og finn ut kva distanse løparane har tilbakelagt når dei har sprunge i 45 minutt. Marker i koordinatsystemet.
    vis fasit
    Grafe som viser tilbakeladt distanse. Graf.

    Les av grafen at dei har sprunge 15 300 meter, dvs. 15,3 km på 45 minutt.

1.5 (Utan hjelpemiddel)

Camilla har eit mobilabonnement. Ho betaler 99 kroner i fast pris per månad og 0,49 kroner per ringjeminutt, t. Kostnadene, k, ved å bruke mobiltelefonen ein månad kan vi skrive som

kt=0,49t+99

der t varierer frå og med 50 til og med 200.

  1. Lag ein verditabell for k .
    vis fasit
    Verditabell
    t 50 100 150
    k(t) 123,50
    148,00
    172,50
  2. Teikn grafen til k.
    vis fasit
    Graf som viser utgifter til mobil. Graf.
  3. Finn grafisk kor mange minutt Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner.
    vis fasit

    Eg les av grafen i b) at Camilla har ringt i ca. 125 minutt når kostnaden er 160 kroner.

1.6

Dei tre lineære funksjonene f, g og h er gitte nedanfor.
Skriv ned stigningstalet og konstantleddet til kvar av dei tre funksjonane.

  1. fx=2x+2
    vis fasit

    Stigningstal 2

    Konstantledd 2

  2. gx=-3x-2
    vis fasit

    Stigningstal -3

    Konstantledd -2

  3. hx=x
    vis fasit

    Stigningstal 1

    Konstantledd 0

  4. Kva fortel stigningstalet og konstantleddet oss om grafen til ein lineær funksjon?
    vis fasit

    Stigningstalet fortel kor raskt grafen til funksjonen veks eller går ned. Di større stigningstalet er, di brattare er grafen.

    Konstantleddet fortel kvar grafen skjer andreaksen. Når grafen skjer andreaksen, er variabelen x lik 0.

1.7 (Utan hjelpemiddel)

Dei tre lineære funksjonane f, g og h er gitte ved

fx = 0,5x+2gx=-2x+2hx=2x

For kvar av dei tre funksjonane skal du

  • Lage ein verditabell som inneheld 3 ulike x-verdiar
  • Markere punkta du finn i eit koordinatsystem
  • Teikne ei rett linje gjennom punkta
  1. f(x)=0,5x+2
    vis fasit
    Verditabell
    x
    -2
    0 2
    f(x)
    1
    2
    3
    Koordinatsystem med grafen til f av x er lik 0 komma 5 x   2 tegna inn. Graf.
  2. g(x)=-2x+2
    vis fasit
    Verditabell
    x
    -2
    0 2
    g(x)
    6
    2
    -2
    Koordinatsystem med grafen til g av x tegna inn. Graf.
  3. h(x)=2x
    vis fasit
    Verditabell
    x
    -2
    0 2
    h(x)
    -4
    0
    4
    Koordinatsystem med grafen til h av x tegna inn. Graf.

1.8 (Utan hjelpemiddel)

Dei tre lineære funksjonane f, g og h er gitte ved

fx = x-1gx=x+2hx=x-3

  1. Kor skjer kvar av desse grafane andreaksen?
  2. vis fasit

    Konstantleddet til f(x) er -1. Grafen til f(x) skjer med det andreaksen i punktet (0, -1) .

    Konstantleddet til g(x) er 2. Grafen til g(x) skjer med detandreaksen i punktet (0, 2) .

    Konstantleddet til h(x) er -3. Grafen til h(x) skjer med det andreaksen i punktet (0, -3) .

  3. Kan du seie noko om korleis desse grafane går i høve til kvarandre og kvifor det er slik?
    vis fasit

    Funksjonane har same stigningstal. Linjene er difor parallelle.

  4. Teikn grafane til dei tre funksjonane i same koordinatsystem.
    vis fasit
    3 grafer i et koordinatsystem. Graf.

1.9

Bruk det du veit om stigningstalet og konstantleddet til ein lineær funksjon til å teikne dei rette linjene gitt ved

  1. fx=x-2
  2. vis fasit
    Graf til f av x. Graf.

    Grafen til f(x) har stigningstal 1 og konstantledd -2, dvs. at grafen skjer andreaksen i -2. Vi kan ta utgangspunkt i -2 på andreaksen. Stigningstalet på 1 fortel at om vi beveger oss ei eining til høgre langs førsteaksen, stig grafen med 1 eining. Vi kan setje av to punkt til og teikne ei rett linje gjennom punkta.

  3. gx=-x+2
    vis fasit
    Grafen  til funksjonen. Graf.

    Grafen til g(x) har stigningstal -1 og konstantledd 2, dvs. at grafen skjer andreaksen i 2. Vi kan ta utgangspunkt i 2 på andreaksen. Stigningstalet på -1 fortell at om vi beveger oss ei eining til høgre langs førsteaksen, fell grafen med 1 eining. Vi kan setje av to punkt til og teikne ei rett linje gjennom punkta.

  4. hx=2x+0,5
    vis fasit
    Grafen  til funksjonen. Graf.

    Grafen til h(x) har stigningstal 2 og konstantledd 0,5, dvs. at grafen skjer andreaksen i 0,5. Vi kan ta utgangspunkt i 0,5 på andreaksen. Stigningstalet på 2 fortel at om vi beveger oss ei eining til høgre langs førsteaksen, stig grafen med 2 einingar. Vi kan setje av to punkt til og teikne ei rett linje gjennom punkta.

1.10

Kryssende linjer i koordinatsystem. Bilde.

På figuren til høgre ser du to rette linjer i eit koordinatsystem. Kva er konstantleddet i funksjonsuttrykket til kvar av desse to linjene?

vis fasit

Konstantleddet finn vi ved å sjå på kvar grafane skjer andreaksen.

Den raude linja skjer andreaksen i punktet (0, -1).

Konstantleddet er med det -1.

Den blå linja går gjennom origo. Konstantleddet er då lik 0 .

Rett linje i koordinatsystem. Bilde.
1.11

  1. Finn stigningstalet til den rette linja som er teikna i koordinatsystemet til høgre.
    vis fasit

    Vi kan ta utgangspunkt i eit punkt på grafen, til dømes punktet (1, 1) .

    Når vi beveger oss 1 eining til høgre langs førsteaksen, stig grafen med 2 einingar.

    Stigningstalet er 21=2.

  2. Skriv opp funksjonsuttrykket til den lineære funksjonen som gir denne rette linja.
    vis fasit

    Grafen skjer andreaksen i punktet (0, -1) . Konstantleddet då -1.

    Funksjonsuttrykket kan då skrivast som f(x)=2x-1

  3. Kva er nullpunktet til funksjonen?
    vis fasit

    Nullpunktet er der grafen skjer førsteaksen.

    Grafisk ser vi at nullpunktet er x=12 .

    Ved rekning set vi f(x)=0:

    f(x)=02x-1=02x=1x=12

1.12

I koordinatsystemet ovanfor er det teikna fire grafar. Forklar kva for eitt av funksjonsuttrykka nedanfor som høyrer saman med kva graf.

Linjer i koordinatsytem. Bilde.

fx = 2x-1gx=-2x+2hx=-xix=-2

vis fasit

f(x) er graf c.

g(x) er graf b.

h(x) er graf a.

i(x) er graf d.

1.13

I koordinatsystemet nedanfor har vi teikna grafane til dei fem funksjonane f, g , h , i og j . Skriv ned funksjonsuttrykket til kvar av dei 5 funksjonane.

Kryssende linjer i koordinatsystem. Bilde.
vis fasit

f(x)=3g(x)=xh(x)=4x-1i(x)=-3x+2j(x)=-12x-32

1.14

Ei rett linje går gjennom punkta (0, -1) og (1, 1).

  1. Kva er stigningstalet til denne rette linja?
    vis fasit

    Eg teiknar linja gjennom dei to punkta i GeoGebra.

    Grafen  til funksjonen. Graf.

    Vi startar i punktet (0, -1) på linja, går éi eining til høgre, og ser at vi må gå to einingar opp for igjen å treffe linja. Det betyr at stigningstalet er a=2.

  2. Finn likninga for linja gjennom desse punkta.
    vis fasit

    Linja skjer y-aksen i punktet (0, -1).

    Det betyr at b=-1 .

    Alle rette linjer kan skrivast på forma y=ax+b.

    Det betyr at likninga for linja er y=2x-1.

1.15

Ei rett linje har stigningstal 2 og går gjennom punktet (2, 2). Finn likninga for linja.

vis fasit

Eg teiknar linja i GeoGebra. Linja skjer andreaksen i og har stigningstal 2.

Det tyder at likninga for linja er y=2x-2.

Grafen  til funksjonen. Graf.

1.16

Gitt funksjonane fx=-32x+5 og gx=2x-2.

  1. Teikn grafane til dei to funksjonane i same koordinatsystem.
    vis fasit
    Grafen  til funksjonen. Graf.
  2. Finn skjeringspunktet mellom grafane grafisk.
    vis fasit

    Eg brukte kommandoen «Skjering mellom to objekt» og fann at A(2, 2) er skjeringspunktet mellom grafane. Sjå grafen i oppgåve A.

  3. Finn skjeringspunktet mellom grafane ved rekning, både med og utan digitale hjelpemiddel.
    vis fasit

    Ved CAS:

    f av x er lik g av x. CAS.

    Utan bruk av digitale hjelpemiddel:

    f(x)=g(x)-32x+5=2x-2-3x+10=4x-4-3x-4x=-4-10-7x=14x=2

    g(2)=2·2-2=4-2=2

    Eg får både med og utan digitale hjelpemiddel at skjeringspunktet er (2, 2).

  4. Finn nullpunkta til funksjonane grafisk og ved rekning. Ved rekning både med og utan digitale hjelpemiddel.
    vis fasit

    Grafisk brukte eg kommandoen «Skjering mellom to objekt» og fann skjeringspunkta mellom grafane ogx-aksen. (Eg kunne også brukt kommandoen «Nullpunkt[ ]»).

    Funksjonen f har nullpunkt for x=3,3 (Sjå punktet C på grafen i oppgåve A) og funksjonen g har nullpunkt x=1 (Sjå punktet B).

    Ved rekning utan digitale hjelpemiddel:

    f(x)=0g(x)=0-32x+5=02x-2=0-3x=-102x=2x=103x=1

    Ved CAS:

    f av x er lik 0.CAS.

    Eg får same nullpunkt ved rekning som grafisk.

1.17

Ung mann snakker i mobiltelefon. Foto.

Per jobbar som telefonseljar. Lønna er basert på ei grunnløn per time på 105 kroner. I tillegg får han 10 kroner for kvart sal han gjer.

  1. Lag ein funksjon L som viser timelønna i kroner når han gjer s salg.
    vis fasit

    L(s)=10s+105

  2. Teikn grafen til funksjonen L i eit koordinatsystem.
    vis fasit
    Grafen  til funksjonen. Graf.
  3. Kor mange sal har Per hatt når timelønna var 175 kroner?
    vis fasit

    Eg brukte kommandoen «Skjering mellom to objekt» og fann at punktet A(7, 175) er skjeringspunktet mellom grafen til L(s) og linja y=175. Punktet A(7, 175) på grafen viser at Per har hatt 7 sal når timeløna var 175 kroner.

    Dette finn vi også ved rekning i CAS:

    L av s er lik 175.CAS.

1.18

På ein terminprøve i matematikk har Trine teke med seg ei flaske med kaldt kjeldevatn. Temperaturen i vatnet var 5 °C ved starten av prøven og stig jamt med 5,4 °C i timen i løpet av dei 3 første timane prøven varar.

  1. Lag ein funksjon T for temperaturen i vatnet x antall minutter etter at prøven starta.
    vis fasit

    Temperaturstiginga er 5,3°C60 min=0,09 °C per minutt.

    T(x)=0,09x+5

  2. Kva er temperaturen i vatnet etter 1,5 timar?
    vis fasit

    T(90)=0,09°Cmin·90 min+5°C=13,1°C

  3. Teikn grafen til T i eit koordinatsystem. La x variere frå 0 til 180.
    vis fasit
    Grafen  til funksjonen. Graf.
  4. Kva tid var temperaturen i vatnet 14°C?
    vis fasit

    Vi les av grafen at temperaturen i vatnet var 14°C etter 100 minutt, det vil seie etter 1 time og 40 minutt..

  5. Anette hadde også med seg ei flaske med kjeldevatn på prøven. Funksjonen f viser temperaturen i vatnet til Anette x minutt etter at prøven starta:

    fx=0,08x+6,5

  6. Kva var temperaturen i vatnet til Anette då prøva starta?

    vis fasit

    Då prøva starta var x=0 . Temperaturen var då 6,5°C.

1.19

Tabellen nedanfor viser folkemengda i Noreg for nokre utvalde år i perioden frå 1950 til 2000.

År195019601970198019902000
Folkemengde
3 249 954
3 567 707
3 863 221
4 078 900
4 233 116
4 478 497
  1. Plott punkta i eit koordinatsystem og finn eit tilnærma lineært uttrykk for ein funksjon f som beskriv samanhengen mellom år og folkemengde ved å bruke eit digitalt hjelpemiddel. La x vere talet på år etter 1950 og f(x) folkemengda i millionar.
    vis fasit
    Grafen  til funksjonen. Graf.

    Eg brukar lineær regresjon i GeoGebra og finn at funksjonen f kan beskrivast med uttrykketf(x)=0,024x+3,315.

  2. Kor mykje aukar folkemengda med per år ut frå uttrykket du fann i a)?
    vis fasit

    Av funksjonsuttrykket ser vi at stigningstalet er 0,024. Auken i folkemengda per år er 0,024 millionar, altså 24 000 individ.

  3. Om denne utviklinga held fram, kva vil folkemengda i Noreg vere i år 2050?
    vis fasit

    Variabelen x er tal år etter 1950. Vi set då x lik 100 i funksjonen vi fann ovanfor og finn folkemengda i Noreg i år 2050.

    f(100)=0,024·100+3,315=5,715

    Folkemengda i Noreg vil vere 5 715 000 i år 2050 etter denne modellen.

1.20

Tabellen nedanfor viser utslepp av svoveldioksid til luft i Noreg for nokre utvalde år frå 1973 til 2000.

År 1973 1980 1987
1992 1996 2000
Utslipp til
luft SO2 i
1000 tonn
156,4 136,4
73,1 37,0
33,1 27,3
  1. Plott punkta i eit koordinatsystem og finn eit tilnærma lineært uttrykk for ein funksjon som beskriv samanhengen mellom år og utslepp.

    La x vere talet på år etter 1973 og S(x) utslippet av svoveldioksid i tusen tonn.

    vis fasit
    Grafen  til funksjonen. Graf.

    Eg brukar lineær regresjon i GeoGebra og finn at funksjonen S kan beskrivast med uttrykket S(x)=-5,39x+158.

  2. Når var utsleppet av svoveldioksid 100 tusen tonn?
    vis fasit

    Eg finn skjeringspunktet mellom linja og grafen til funksjonen ved kommandoen «Skjering mellom to objekt».

    Eg finn at utsleppet av SO2 er 100 tusen tonn omtrent 11 år etter 1973, dvs. i 1984.

  3. Kva vil utsleppet vere i år 2010 dersom vi følgjer denne modellen? Kommenter svaret.
    vis fasit

    Utslipp i år 2010: S(37)=-5,39·37+1558=-41,43.

    Utsleppet kan ikkje vere negativt. Modellen ovanfor kan ikkje brukast til å rekne utslepp i lang tid framover. Når vi ser på punkta og grafen ovanfor, ser vi at modellen passar bra fram til 1996. Modellen passar dårleg etter 1996.

Læringsressursar

Funksjonar i praksis

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter