Hopp til innhald

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. Funksjonar i praksisChevronRight
  4. VekstfartChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Vekstfart

Her ser vi på gjennomsnittleg og momentan vekstfart til funksjonar, med definisjonar og eksempel. Vi startar med rette linjer.

Vekstfart til lineære funksjonar

Ein lineær funksjon kan skrivast på forma fx=ax+b.
Talet a blir kalla stigingstalet, og talet b blir kalla konstantleddet.

Jordbær, blåbær og bringebær. Bilde.

Eline sel bær på torget. Ho har ei fast timelønn på 100 kroner. I tillegg får ho 3 kroner per kilo ho sel.

Vi let x vere talet på kilo Eline sel per time, og fxtimeløna.
Då er timeløna ein lineær funksjon

fx=3x+100

Stigingstalet fortel at timeløna aukar med 3 kroner for kvar ekstra kilo Eline sel.

Stigingstalet fortel altså kor fort funksjonen veks og kallast difor også for vekstfarta til funksjonen.

Om Eline sel 20 kg per time, er timeløna 160 kroner.
Om Eline sel 40 kg per time, er timeløna 220 kroner.

Vi kan alltid rekne ut vekstfarta eller stigingstalet til ei rett linje når vi kjenner to punkt på grafen.

Stigingstalet er alltid lik endring i y-verdiane dividert med endring i x-verdiane.

Tegning av graf i GeoGebra

Vekstfarta a blir

a = f40-f2040-20=220-16040-20=6020=3

Timeløna til Eline veks med 3 kroner for kvar ekstra kg med bær ho sel per time.

Vekstfart til funksjonar som ikkje er lineære

Niels Henrik. Illustrasjon.

Gjennomsnittleg vekstfart

Som 13 åring var Niels Henrik 149 cm høg. Fire år seinare var han 181 cm. Niels Henrik vaks ikkje like fort heile tida i desse åra.

Men vi kan rekne ut at den gjennomsnittlege vekstfarten til Nils Henrik i fireårsperioden blir

Gjennomsnittlig vekstfart=181 cm-149 cm4 år=32 cm4 år=8 cm per år

Morelltre i bløming. Bilete.

I 2006 planta Elin eit morelltre.

Funksjonen h, for dei første åra etter planting, er gjeven ved

hx=-0,003x3+0,09x2+1

og viser høgda til morelltreet i meter x år etter at det vart planta.

Vi teiknar grafen til funksjonen og ser at kurven blir brattare og brattare dei første åra. Treet veks fortare og fortare.

Vi finn grafisk at treet er 1,09 meter eitt år etter planting og 2,25 meter fire år etter planting.

Vi kan rekne ut gjennomsnittleg vekstfart frå år 2007 til år 2010

Grafisk visning av vekst i morellttre. Bilde.

På grafen har vi teikna linja (sekanten) gjennom punkta (1, 1.09) og (4, 2.25) og finn at stigingstalet til denne sekanten er lik gjennomsnittleg vekstfart frå år 1 til år 4.

I perioden 2007 til 2010 vaks treet med gjennomsnittleg 39 cm per år.

Vi ser av grafen at treet veks fortare etter fire år enn etter eitt år. Grafen er mykje brattare når
x=4 enn når x=1.

Momentan vekstfart

Vi ønskjer å finne ein tilnærma verdi for kor fort treet ovanfor veks når det er akkurat eitt år gamalt.
Vi finn først gjennomsnittleg vekstfart frå det første året til det tredje året som ein tilnærmingsverdi og deretter frå det første året til det andre året.

Vekstfart. Graf.

Grafane ovanfor viser at gjennomsnittleg vekstfart frå det første året til det tredje året er 32 cm per år, og at gjennomsnittleg vekstfart frå det første året til det andre året er 25 cm per år.

Stiginga til sekantane blir meir og meir lik brattheita til grafen når  x=1 jo nærmare kvarandre dei to punkta er. Av dei to tilnærmingsverdiane, er det difor den siste som er den beste tilnærminga.

Vekstfart. Graf.

For å finne endå betre tilnærmingsverdiar reduserer vi avstanden mellom punkta endå meir.

Til slutt vil punkta falle saman til eitt punkt, og sekanten blir ein tangent til kurven i dette punktet.

Stigingstalet til denne tangenten gjev den aller beste tilnærmingsverdien for vekstfarten til treet når det er akkurat eitt år gamalt.

Vi kallar dette for den momentane vekstfarten når treet er eitt år gamalt.

Vi kan altså finne ein tilnærma verdi for den momentane vekstfarten i eit punkt på ein kurve ved å teikne ein tangent til kurven i punktet og finne stigingstalet til denne tangenten.

I GeoGebra gjer vi dette ved å bruke kommandoane «Tangentar» og «Stiging».

Tangenter og stigning i GeoGebra
Tangenter og stigning

Vi finn til dømes at den momentane vekstfarten til treet nøyaktig 3 år etter planting er 0,46 meter per år.

Læringsressursar

Funksjonar i praksis

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter