Hopp til innhald

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. Funksjonar i praksisChevronRight
  4. EksponentialfunksjonarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Eksponentialfunksjonar

Ein eksponentialfunksjon er gitt på forma a multiplisert med ein potens med b som grunntal og den ukjende x i eksponenten. Talet b blir kalla vekstfaktoren. Eksponentialfunksjonar er berre definerte for positive verdiar av b, og vi skal berre sjå på funksjonar der også a er positiv.

Funksjonane g og h gitt nedanfor er døme på eksponentialfunksjonar.

graf over funksjonene

gx = 2,5·1,5xhx=6,5·0,8x

Når vekstfaktoren er større enn 1, aukar funksjonsverdiane med ein fast prosent i like lange periodar. Samanhengen mellom den prosentvise veksten p og vekstfaktoren b er gitt ved likninga

b=1+p100

Når vekstfaktoren er mindre enn 1, minkar funksjonsverdiane med ein fast prosent i like lange periodar. Samanhengen mellom den prosentvise nedgongen p og vekstfaktoren b er gitt ved likninga

b=1-p100

Talet på individ i ein populasjon i naturen vil auke eksponentielt dersom populasjonen har uavgrensa tilgang til mat og ingen fiendar. Populasjonen vil ikkje vekse så fort i byrjinga, men etter kvart vil veksten auke meir og meir. Dette er karakteristisk for eksponentiell vekst. (Sjå grafen av g i koordinatsystemet ovanfor.)

Vi vil også få eksponentiell vekst på eit bankinnskot med ei fast årleg rente.

Verdien av ein gjenstand, til dømes ein bil, vil ofte utvikle seg som ein eksponentialfunksjon med vekstfaktor mindre enn 1.

Praktiske døme med eksponentialfunksjonar

Døme 1

I algebrakapitlet lærte du om vekstfaktor. Dersom du set 1000 kroner i banken i dag og får 6 % rente på pengane, kan du om eitt år ta ut 1000·1,06=1060 kroner av banken.

Talet 1,06 kaller vi for vekstfaktoren. Dersom pengane står tre år i banken, vil beløpet vekse til 1000·1,063=1191 kroner.

Dersom 1000 kroner står x år i banken med 6 % rente, vil beløpet vekse til 1000·1,06x kroner.

Inneståande beløp, B, er ein funksjon av talet på år i banken, x, og funksjonsuttrykket blir

Bx=1000·1,06x

grafe som viser ein eksponetialfunksjon. illustrasjon.

Grafen av funksjonen viser til dømes at beløpet på 1000 kroner har vakse til 1191 kroner etter 3 år (som vi rekna ut ovanfor) og til 2693 kroner etter 17 år.

Kor lenge må pengane stå i banken før beløpet er dobla?

Vi finn svaret ved å teikne den rette linja y=2·1000=2000 i same koordinatsystem som grafen av B og så finne skjeringspunktet mellom linja og grafen. Pengane må stå i banken i 12 år.

Døme 2

Bruktbilar

Kari kjøper ein fire år gammal bil for 200 000 kroner. Bilen har sokke i verdi med 10 % kvart år sidan han var ny. Kari reknar med at verdien vil søkke på same måte dei neste åra.

Verdien av bilen, Vx, x år etter at Kari kjøpte han, er då gitt ved

Vx=200 000·0,90x

Vi teiknar grafen av V.

Graf som viser verdifall. Graf.

Av grafen kan vi lese at verdien av bilen vil ha sokke til 100 000 kr etter 6,6 år.

Avlesing på grafen viser også at verdien av bilen for 4 år sidan, altså bilen sin pris som ny, var omlag 305 000 kroner.

Læringsressursar

Funksjonar i praksis

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter