Døme 1

Frå modelleringskapitlet er du kjent med funksjonen

$$\begin{array}{l}A\left(x\right)=x·\left(6-x\right)\\ A\left(x\right)=-x^2+6x\end{array}$$

som beskriver arealet til eit rektangel med variabel grunnlinje, $$x$$, men slik at omkrinsen heile tida skal vere lik 12 meter.

Vi skriv inn funksjonen

$$A\left(x\right)=\mathrm{Funksjon}[-x^2+6x, 0, 6]$$

på skrivelinja i GeoGebra.

Vi kan finne toppunktet med verktøyet «Ekstremalpunkt» eller kommandoen «Ekstremalpunkt[<Polynom>]», og vi må skrive «Ekstremalpunkt[ A ]». Vi får punktet $$B(3, 9)$$ . Det betyr at arealet har sin største verdi på 9 m² når $$x$$ er lik 3 meter.

Grafen har to nullpunkt. Vi kan finne nullpunkta med kommandoen «Nullpunkt[<Polynom>]», og vi må skrive «Nullpunkt[ A ]». Vi får punkta $$C(0, 0)$$ og $$D(6, 0)$$. Det betyr at arealet er lik null når $$x$$ anten er lik 0 meter eller 6 meter. Vi får då ikkje noko reelt rektangel.

Vi skriv $$y=4$$ og får linja $$a$$. Vi finn skjeringspunkta mellom denne linja og grafen med kommandoen «Skjering mellom to objekt». Punkta $$E$$ og $$F$$ viser at arealet er lik 4 kvadratmeter når grunnlinja er lik 0,76 meter eller 5,24 meter.

Ved rekning løyser vi likninga

Vi skriv $$x=2$$ og får linja $$b$$. Skjeringspunktet $$G$$ mellom denne linja og grafen viser at arealet er lik 8 kvadratmeter når grunnlinja er lik 2 meter. Vi kan også skrive inn$$(2, A(2\left)\right)$$.

Ved rekning får vi

Døme 2

Per målte temperaturen kvar 4. time gjennom eit heilt døgn. Han starta kl. 14.00 den eine dagen og avslutta kl.14.00 den neste dagen.

Per brukte regresjon på dei observerte dataa og fann ein modell for temperaturutviklinga det døgnet han målte temperaturen. Han fann modellen

$$T\left(x\right)=0,0234x^2-0,69x+2,6$$

der $$x$$ er temperaturen timar etter kl. 14.00. Modellen gjeld for $$x$$ -verdiar mellom null og 24 timar.

$$T\left(x\right)$$ er også ein andregradsfunksjon. Men $$T\left(x\right)$$ har ikkje toppunkt. Den har derimot eit botnpunkt, eit punkt som viser den lågaste temperaturen gjennom døgnet.

Det er forteiknet til andregradsleddet som avgjer om ein andregradsfunksjon har toppunkt eller botnpunkt.

Både toppunkt og botnpunkt får vi ved kommandoen «Ekstremalpunkt[< Polynom >]».

Nullpunkta $$E$$ og $$F$$ finn du som vist i førre døme og viser at temperaturen etter modellen var lik null grader Celsius kl. 18.45 og kl. 08.15 neste dag.

På same måte som i førre døme finn vi grafisk at temperaturen 20 timar etter kl. 14.00, altså kl. 10.00 dagen etter, var 0,8 grader og at temperaturen var 2 grader ca. kl. 15 den første dagen og ca. kl. 12 neste dag.

Ved rekning får vi ikkje alltid begge løysingar i GeoGebra når vi har definert funksjonen i eit avgrensa intervall, som linje 2 i CAS-bildet viser. Ei moglegheit er å gjere som vist i linje 3 i CAS-biletet, der vi skriv heile funksjonsuttrykket inn i staden for "$$T\left(x\right)$$". Vi kan óg definere ein annan funksjon som vi til dømes kallar "$$T_2\left(x\right)$$", men som er heilt lik $$T\left(x\right)$$, men som ikkje har ei avgrensing i definisjonsmengd. Då bruker vi den når vi reknar med CAS.  

Generell form for andregradsfunksjonar

I andregradsfunksjonar opptrer $$x$$ i andre potens. Det vil seie at vi har ledd som inneheld $$x^2$$. Alle slike funksjonar kan skrivast på forma

$$f\left(x\right)=a·x^2+b·x+c$$

der $$a$$, $$b$$ og $$c$$ er konstante tal.
I tillegg til andregradsleddet har vi til vanleg eit førstegradsledd, eit ledd med $$x$$ i første potens, og eit konstantledd.

Grafen til ein andregradsfunksjon blir kalla ein parabel og har anten eit toppunkt eller eit botnpunkt. Om leddet med $$x^2$$ er negativt, har grafen toppunkt. Om leddet med $$x^2$$ er positivt, har grafen eit botnpunkt.

Døme 3

Ei bedrift produserer $$x$$ einingar av ei vare per dag. Funksjonen $$K$$ gitt ved

$$K\left(x\right)=0,25x^2+500$$

viser kostnadane (kroner) ved produksjon av einingar.

Bedrifta kan maksimalt produsere 200 einingar per dag. Dei produserte einingane blir selde for 45 kroner per stk. Inntektene er då gitt ved

$$I\left(x\right)=45x$$.

Overskotet er differensen mellom inntekter og kostnadar, og overskotsfunksjonen $$O$$ er difor gjeven ved

$$O\left(x\right)=I\left(x\right)-K\left(x\right)$$.

Figuren viser grafane til $$K, I$$ og $$O$$.

Skjeringspunkta, $$A(12, 535)$$ og $$B(168, 7 564)$$ , mellom grafane til $$K$$ og $$I$$ viser at kostnadane er like store som inntektene ved produksjon av 12 einingar og ved produksjon av 168 einingar. Overskotet er då lik null, og grafen til $$O$$ har nullpunkt, $$C$$ og $$D$$ for $$x=12$$ og for $$x=168$$.

Ved produksjon av mindre enn 12 einingar eller fleire enn 168 einingar er kostnadane større enn inntektene, og overskotet er negativt. Bedrifta taper pengar.

Ved produksjon mellom 12 einingar og 168 einingar er kostnadane mindre enn inntektene, og bedrifta går med overskot.

Grafen til $$O$$ har toppunkt $$E(90, 1 525)$$. Bedrifta oppnår maksimalt overskot ved å produsere 90 einingar per dag. Overskotet per dag er då 1 525 kroner.