Hopp til innhald

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. Funksjonar i praksisChevronRight
  4. Lineære funksjonarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Lineære funksjonar

Grafane til lineære funksjonar er rette liner. Det er mange ting som endrest lineært.

Jente som løper

Lene spring med ei jamn fart på 160 m/min.

  • Kor langt har Lene sprunge etter 70 minutt?
  • Kor lang tid brukar Lene på å springe 5 000 meter?

Vi kan beskrive samanhengen mellom strekninga Lene tilbakelegg og kor lenge ho har sprunge ved hjelp av funksjonen S gitt ved

St=160t

der S(t) står for strekninga i meter som Lene har tilbakelagt etter t minutter.

Vi går ut frå at løpeturen varar i 100 minutt. Det vil seie at t varierer frå 0 til 100.

Vi kan teikne grafen til funksjonen i GeoGebra. Vi brukar kommandoen «Funksjon[<Funksjon>,<Start>,<Slutt>]», og på skrivelinjen skriv vi St=Funksjon[160t,0,100].

Legg merke til at vi ikkje treng skrive inn heile uttrykket. Så fort vi byrjar å skrive får vi fleire val.

Bruk knappen «Flytt grafikkfeltet» for å plassere koordinatsystemet i ønskt posisjon og dra i koordinataksane for å få ønskte avstandar.

Frå Algebrafeltet kan du «dra» funksjonsuttrykket over til Grafikkfeltet. Bruk «Innstillingar - Avansert - Grafikkfelt» eller høgreklikk når du peikar på eit punkt i Grafikkfeltet, for å gje opp «Namn» og «Avstand» på aksane.

Skjermbilde i GeoGebra. Bilde.

Kor langt har Lene sprunge etter 70 minutt?

Ved grafisk løysing kan vi skrive x=70 og vi får ei «loddrett» linje gjennom punktet D. Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen ved kommandoen «Skjering» eller «Skjering mellom to objekt». Vi får punktet  E=(70, 11200). Det betyr at Lene har løpt 11 200 meter etter 70 minutt.

Ein kjappare metode er å skrive inn punktet (70, S(70)) på skrivelinja. Da får du punktet E på grafen.

Ved rekning skriv vi S(70) i CAS-feltet og klikkar på knappen «Rekn ut».

Kor lang tid brukar Lene på å springe 5 000 meter?

Ved grafisk løysing kan vi skrive y=5000 og vi får ei «vassrett» linje gjennom punktet A. Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen ved kommandoen «Skjering» eller «Skjering mellom to objekt». Vi får punktet B=(31.25, 5000). Det betyr at Lene har brukt 31,25 minutt som er lik 31 minutt og 15 sekund på å springe 5 000 meter.

Ved rekning skriv vi S(t)=5000 i CAS og klikkar på knappen «Løys ei eller fleire likningar numerisk».

Lineære funksjoner

Grafen til funksjonen S gitt ved Sx=160t er ei rett linje, og er difor ein lineær funksjon. Ordet "lineær" tyder "rettlinja".

Alle lineære funksjonar kan skrivast som eit konstant tal multiplisert med ein variabel pluss eit konstant tal.

Ein lineær funksjon er ein funksjon som kan skrivast på forma

fx=ax+b       der a og b er konstante tal.

Stigningstal og konstantledd

Funksjonen som beskriver løpeturen til Lene kan skrives som St=160·t+0. Det betyr at a=160 og b=0.

Stigningstal og konstantledd på graf. Bilete.

Vi ser at grafen til St=160·t+0 skjer  y-aksen der  y=b=0.
Grafen skjer andreaksen når  t=0 og S0=160·0+0=0.
Talet b kallast konstantleddet og viser alltid kor grafen skjer y-aksen.

Talet a viser kor mykje grafen stig når x aukar med 1 eining. Talet a kallar vi stigingstalet. Vi ser at stigingstalet er 160. Det betyr at når tida aukar med eitt minutt så aukar strekninga med 160 meter. Det betyr at farten er 160 meter per minutt. Stigingstalet svarar altså til farten i dette tilfellet.

Korleis finne funksjonsuttrykket til ein lineær funksjon ut frå grafen

Bilde av koordinatsystem

I koordinatsystemet til høgre har vi teikna grafen til ein lineær funksjon som går gjennom nokre kjente punkt.

Grafen skjerer y-aksen i punktet (0, -1). Det betyr at b=-1.

Når vi går éin eining til høgre frå (0, -1), eller til dømes frå (2, 3), må vi gå to einingar oppover parallelt med y-aksen for igjen å treffe grafen. Det betyr at a=2.

Funksjonsuttrykket blir difor f(x)=2x-1 .

Det er heller ikkje naudsynt å gå éi eining til høgre for å finne stigingstalet. Ved å starte i punktet (1, 1) og til dømes gå to einingar til høgre, må vi gå fire einingar oppover parallelt med y-aksen for igjen å treffe grafen.

Stigningstallet blir

a=42=2

Skjeringspunktet mellom to rette linjer

To firma leiger ut selskapslokale.

Firma A tek ein fast leigepris på 3 000 kroner og eit timetillegg på 500 kroner. Kostnadene i kroner, A(x), ved leige av lokalet i x timar kan beskrivast med funksjonsuttrykket

Ax=500x+3000

Firma B tek ein fast leigepris på 2000 kroner og eit timetillegg på 1 000 kroner. Kostnadene i kroner, B(x) , ved leige av lokalet i x timar kan beskrivast med funksjonsuttrykket

Bx=1000x+2000

Graf over kostnad og tal på timer. Bilete.

Vi teiknar grafane til dei to funksjonane og finn skjeringspunktet mellom grafane ved kommandoen «Skjering mellom to objekt».

Grafane skjer kvarandre når x=2. Det betyr at om du skal leige lokalet i to timar, er det prismessig det same kva firma du vel. Prisen er 4000 kroner hjå begge firmaa.

Om du skal leige lokalet i mindre enn to timar, løner det seg å velje firma B. Det ser vi ved at grafen til B(x) ligg under grafen til A(x) i dette området.

Om du skal leige lokalet i meir enn to timar, løner det seg å velje firma A. Det ser vi ved at grafen til A(x) ligg under grafen til B(x) i dette området.

Skjæringspunkt ved regning i GeoGebra. Bilde.

Vi kan kontrollere den grafiske løysinga ved rekning

Vi får også her at leigeprisane er like når leigetida er to timar og at leigeprisen då er 4 000 kroner.

Vi ser at for desse funksjonane svarar stigingstalet til timeprisen og konstantleddet til den faste leigeprisen

Nullpunkt

Med eit nullpunkt til ein funksjon f, meiner vi eit punkt på grafen der andrekoordinaten er lik null. Det er med andre ord eit punkt der grafen til funksjonen skjer x-aksen.
I nullpunktet er f(x)=0.

Like før sommarferien får Janne tilbod om å kjøpe ein brukt båt med motor for kroner 9 000. Janne har ikkje pengar, men får eit rentefritt lån av foreldra sine på kroner 9 000 som skal betalast tilbake gjennom sommaren med avdrag kvar veke på kr 1 500. Janne har fått sommarjobb med vekeløn på kroner 4 000.

Graf over gjeld i kroner. Bilete.

Restgjelda Janne har til foreldra sine x veker etter at ho tek opp lånet, kan beskrivast med den lineære funksjonen

R(x)=-1500x+9000

Konstantleddet er 9 000. Det betyr at restgjelda i starten er på kroner 9 000.

Stigingstalet er negativt, -1500. Det betyr at restgjelda går ned med 1 500 kroner per veke. Vi kan seie at restgjelda har negativ lineær vekst!

Vi finn nullpunktet til funksjonen i GeoGebra med kommandoen «Nullpunkt[<Polynom>]» eller verktøyet «Nullpunkt».

Nullpunktet er (6, 0). Det fortel at lånet er nedbetalt, restgjelda er null, etter 6 veker.

Finne nullpunkt i CAS GeoGebra. Bilde.

Ved rekning løyser vi likninga og får same løysing.

Læringsressursar

Funksjonar i praksis

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter