Prisauke

Kvinne i klesbutikk. Foto. — West Coast Surfer, DPA, NTB scanpix

Ei vare kostar 1 500 kroner.

Kva vil vara koste dersom prisen aukar med $25 %$ ?

Løysing

Til no har vi funne ny pris på følgjande måte:
Vi reknar ut prisauken ved først å dele prisen på 100 for å finne kva $1 %$ utgjer, og så multipliserer vi med 25 for å finne kva $25 %$ utgjer. Så legg vi prisauken til gammal pris og finn ny pris.
Reknestykket blir

$Ny pris = 1 500 kroner + \frac{1 500}{100} \cdot 25 kroner = 1 875 kroner$ .

I staden for å rekne som skildra ovanfor, kan vi rekne slik:

$\begin{array}{l} Ny pris = 1 500 + \frac{1 500}{100} \cdot 25 = 1 500 + 1500 \cdot \frac{25}{100} = \\ 1 500 (1 + \frac{25}{100}) = 1 500 (1 + 0, 25) = 1 500 \cdot 1, 25 = 1 875 \end{array}$

Dette blir mykje enklare. Vi multipliserer gammal pris med $1, 25$ og finn ny pris.

Talet $1, 25$ blir kalla vekstfaktoren.

Du finn ny pris ved å multiplisere gammal pris med vekstfaktoren.

$Ny pris = Gammal pris \cdot Vekstfaktor$

Avslag i pris

Utval av ski i sportsbutikk. Foto. — Ørn E. Borgen, Aftenposten, NTB scanpix

Ei vare kostar 1 500 kroner.

Kva må du betale for vara når du får eit avslag på $25 %$ ?

Løysing

Vi følgjer same framgangsmåte som ved prisauken i eksempelet over.

$\begin{array}{rcl} Ny pris & = & 1 500 - 1 500 \cdot \frac{25}{100} \\ = & 1 500 (1 - \frac{25}{100}) \\ = & 1 500 (1 - 0, 25) = 1 500 \cdot 0, 75 \\ = & 1 125 \end{array}$

Ny pris blir 1 125 kroner.

Talet $0, 75$ blir òg i dette tilfellet kalla vekstfaktoren sjølv om prisen ikkje veks, men minkar. Vi seier at vi har negativ vekst.

Du ser igjen at du finn ny pris ved å multiplisere med vekstfaktoren.

Du finn ny pris ved å multiplisere gammal pris med vekstfaktoren.

$Ny pris = Gammal pris \cdot Vekstfaktor$

Dette fører til at prosentrekninga blir mykje enklare.

Konklusjon

Når du skal auke eit tal med $p %$ , blir vekstfaktoren $1 + \frac{p}{100}$ .

Når du skal redusere eit tal med $p %$ , blir vekstfaktoren $1 - \frac{p}{100}$ .

I begge tilfella må du multiplisere gammal verdi med vekstfaktoren for å finne ny verdi.

Ved bruk av vekstfaktor kan du raskt finne ny pris når det skjer fleire prosentvise endringar etter kvarandre.

Eksempel 1

Salsplakatar i butikk. Foto. — Kva er vekstfaktoren her?
Ingar Storfjell, Aftenposten, NTB scanpix

Ei vare som kostar 500 kroner blir først sett opp med $12 %$ og deretter ned med $20 %$ . Finn ny pris.

Løysing

Etter prisauken blir prisen

$500 kroner \cdot 1, 12 = 560 kroner$

Etter at prisen så blir sett ned igjen, vil vara koste

$(500 kroner \cdot 1, 12) \cdot 0, 80 = 500 kroner \cdot 1, 12 \cdot 0, 80 = 448 kroner$

Eksempel 2

Eit beløp på 10 000 kroner står i banken til ei fast rente på $3 %$ per år. Kor mykje har beløpet vakse til dersom det står 8 år i banken?

Løysing

Beløpet etter 8 år:

$\begin{array}{l} 10 000 kroner \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \\ = 10 000 kroner \cdot 1, 03^{8} = 12668 kroner \end{array}$

Ved CAS i GeoGebra får vi

$\begin{array}{rcl} 10000 \cdot 1 . 03^{8} \\ 1 \\ \approx 12667.7 \end{array}$

Eksponentiell vekst

Når ein storleik har same prosentvise endring over fleire periodar av same lengde, til dømes over fleire år, har vi eksponentiell vekst.

I eksempel 2 vil 10 000 kroner etter $x$ år i banken vekse til kroner $10000 \cdot 1, 03^{x}$ . Nedanfor har vi skrive inn denne formelen på skrivelinja i GeoGebra, og vi fekk då teikna ein graf som viser utviklinga på pengebeløpet i banken dei neste 180 åra.

Grafen til funksjonen f av x er lik 10000 multiplisert med 1,03 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom 0 og 180. På x-aksen har vi talet på år pengane står i banken, og på y-aksen har vi talet på kroner i banken. Grafen stig brattare og brattare. Skjermutklipp. — Eksponentiell vekst ved banksparing
Olav Kristensen

Vi ser av grafen at auken på bankinnskotet er nokså moderat dei første åra, for så å omtrent eksplodere. Det er dette som er karakteristisk ved eksponentiell vekst.

Eksempel 3

I byrjinga av mars 2020 oppdaga styresmaktene i Noreg dei første tilfella av personar smitta med koronaviruset. Styresmaktene visste at dersom ikkje tiltak vart sett inn for å hindre spreiing av viruset, så ville kvar koronapasient i gjennomsnitt smitte cirka 2,4 andre personar. Det ville bety ein eksponentiell vekst av tal på nye smitta personar med ein vekstfaktor på 2,4. Dei gjekk ut frå at eitt smitteledd svarte til fem dagar.
Det vil seie at for kvar femdagarsperiode vart det smitta eit tal nye personar som var 2,4 gonger så mange som dei som vart smitta i den førre femdagarsperioden.
I reknearket og grafen nedanfor ser vi smittekjeda frå berre éin person. Reknearket viser at etter seks smitteledd, altså berre etter ein månad, vil smittekjeda frå berre denne eine pasienten gi 191 nye smitta, og til saman vil det ha ført til 327 pasientar.

Det er etter seks smitteledd, eller ein månad, at talet på nye smitta personar verkeleg aukar under desse føresetnadene.
I oppgåva Koronaviruset og eksponentiell vekst kan du utforske kva utvikling vi kan forvente ved endra føresetnader.

Grafen til funksjonen f av x er lik 2,4 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom 0 og 11. På x-aksen har vi tal på smitteledd, og på y-aksen har vi tal på nye smitta personar. Grafen stig brattare og brattare. Skjermutklipp. — Mogleg utvikling av koronasmitte
Olav Kristensen

Eksempel 4

Adam set 5 000 kr i banken. Rentefoten er 2,0 % per år. Kor lenge må pengane stå i banken før det står 5 500 kr på kontoen?

Løysing

Vi kan setje opp følgjande likning der $x$ er tida pengane må stå i banken:

$5 000 \cdot 1, 02^{x} = 5500$

Ei slik likning kallar vi ei eksponentiallikning fordi den ukjende opptrer som eksponent i ein potens.

Vi kan løyse likninga med CAS i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} 5000 \cdot 1 . 02^{x} = 5500 \\ 1 \\ NLøys : {x = 4.81} \end{array}$

Pengane må stå i banken i nesten fem år før det står 5 500 kroner på kontoen.

Eksempel 5

Vi går ut frå at innbyggjartalet i Småby veks med 1,5 % kvart år. Det bur i dag 13 000 personar i Småby. Kor mange år går det før innbyggjartalet er 15 000?

Løysing

Vi finn vekstfaktoren:

$1 + \frac{1, 5}{100} = 1, 015$

Vi kan setje opp og løyse følgjande eksponentiallikning ved CAS i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} 13000 \cdot 1 . 015^{x} = 15000 \\ 1 \\ NLøys : {x = 9.611} \end{array}$

Innbyggjartalet vil vere 15 000 om snaue 10 år.

Eksempel 6

Bruktbilar. Foto. — Kor mange år vil det gå før verdien på bilen er halvert?
Magne Johansen, Aftenposten, NTB scanpix

Kari kjøper ein fire år gammal bil for 200 000 kroner. Bilen har sokke i verdi med 10 % kvart år sidan han var ny, og Kari reknar med at denne verdireduksjonen vil halde fram dei neste åra.
Kor lang tid går det før verdien på bilen er halvert i forhold til kva Kari betalte?

Løysing

Vekstfaktoren blir $1 - \frac{10}{100} = 0, 90$ .

Verdien på bilen $x$ år etter at Kari kjøpte han, er då gitt ved $200000 \cdot 0, 90^{x}$ .

For å finne ut kor mange år det går før verdien på bilen er halvert, kan vi setje opp og løyse eksponentiallikninga nedanfor ved CAS i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} 200000 \cdot 0 . 90^{x} = 100000 \\ 1 \\ NLøys : {x = 6.58} \end{array}$

Verdien til bilen er halvert etter 6,6 år.

Eksempel 7

Prisen på ei vare er sett ned med 15 %. Vara kostar no 1 700 kroner.

Kva kosta vara før prisen vart sett ned?

Løysing

Den nye prisen på kroner 1 700 vart rekna ut ved at den opphavlege prisen vart multiplisert med vekstfaktoren. Vekstfaktoren blir då

$1 - \frac{15}{100} = 0, 85$

Vi kallar den opphavlege prisen for $x$ og set opp ei likning:

$\begin{array}{rcl} x \cdot 0, 85 & = & 1 700 \\ \frac{x \cdot 0, 85}{0, 85} & = & \frac{1 700}{0, 85} \\ x & = & \frac{1 700}{0, 85} \\ x & = & 2 000 \end{array}$

Vara kosta 2 000 kroner før prisen vart sett ned.

Ved å løyse likninga ser du at den opphavlege prisen er lik den nye prisen dividert med vekstfaktoren. Dette gjeld alltid. Det er altså ikkje naudsynt å rekne med likning for å finne opphavleg verdi.

Du finn opphavleg verdi ved å dividere ny pris med vekstfaktoren.

Prisauke

Løysing

Avslag i pris

Løysing

Konklusjon

Eksempel 1

Løysing

Eksempel 2

Løysing

Eksponentiell vekst

Eksempel 3

Eksempel 4

Løysing

Eksempel 5

Løysing

Eksempel 6

Løysing

Eksempel 7

Løysing

Reglar for bruk av biletet:

Reglar for bruk av biletet:

Reglar for bruk av biletet:

Reglar for bruk av biletet:

Reglar for bruk av biletet:

Reglar for bruk av biletet:

Reglar for bruk av videoen:

Reglar for bruk av videoen:

Reglar for bruk av videoen:

Reglar for bruk av videoen:

Introduksjon