Oppgave

Pytagoras si setning

Oppgåve 2.4.3 og 2.4.6 bør du jobbe med utan hjelpemiddel.

2.4.1

Finn lengda av sida $b$ i den rettvinkla trekanten $A B C$ nedanfor.

Rettvinkla trekant ABC der A B er 5,0 centimeter, B C er 3,0 cm og vinkel B er 90 grader. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

vis fasit

Vi bruker Pytagoras si læresetning.

$\begin{array}{rcl} b^{2} & = & 5, 0^{2} + 3, 0^{2} \\ = & 34 \\ b & = & 5, 8 \end{array}$

Løyst med CAS i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} b^{2} = 5 . 0^{2} + 3 . 0^{2} \\ 1 \\ NLøys : {b = - 5.83, b = 5.83} \end{array}$

Lengda av sida $b$ er ca. 5,8 cm.

2.4.2

Finn lengda $B C$ i den rettvinkla trekanten $A B C$ nedanfor.

Rettvinkla trekant ABC der A B er 5,0 centimeter, A C er 5,0 centimeter og vinkel A er 90 grader. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

vis fasit

Vi bruker Pytagoras si læresetning.

$\begin{array}{rcl} B C^{2} & = & 5, 0^{2} + 5, 0^{2} \\ = & 50 \\ B C & = & 7, 1 \end{array}$

Løyst med CAS i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} {BC}^{2} = 5 . 0^{2} + 5 . 0^{2} \\ 1 \\ NLøys : {BC = - 7.07, BC = 7.07} \end{array}$

Lengda $B C$ er ca. 7,1 cm.

2.4.3

Figuren viser grunnflata til ein garasje. Rekn ut lengda av diagonalen $B C$ .

Rektangel ABCD der A B er 6,0 meter og A C er 8,0 meter. Rektangelet er ei teikning av ein garasje. Illustrasjon. — Teikning av garasje. Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

vis fasit

Vi bruker Pytagoras si læresetning.

$\begin{array}{rcl} B C^{2} & = & 6, 0^{2} + 8, 0^{2} \\ B C^{2} & = & 36 + 64 \\ B C^{2} & = & 100 \\ B C & = & \sqrt{100} \\ B C & = & 10, 0 \end{array}$

Diagonalen $B C$ er 10,0 m.

2.4.4

Mål lengda og breidda av pulten du sit ved.
Bruk Pytagoras si læresetning og rekn ut lengda av diagonalen på pulten din.
Sjekk om du har rekna rett ved å måle diagonalen.

2.4.5

Sjekk om det er rett at trekanten nedanfor er rettvinkla.

Likebeint trekant ABC der A B og A C er 4,0 meter og B C er 5,5 meter. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

vis fasit

Vi bruker Pytagoras si læresetning og sjekkar om lengda av hypotenusen $B C$ blir 5,5 m.

$\begin{array}{rcl} B C^{2} & = & 4, 0^{2} + 4, 0^{2} \\ = & 32 \\ B C & = & 5, 7 \end{array}$

Løyst med CAS i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} {BC}^{2} = 5 . 0^{2} + 5 . 0^{2} \\ 1 \\ NLøys : {BC = - 7.07, BC = 7.07} \end{array}$

Diagonalen $B C$ må vere ca. 5,7 m for at trekanten skal vere rettvinkla. Trekanten på figuren er difor ikkje rettvinkla.

2.4.6

Rekn ut lengda $A B$ i den rettvinkla trekanten $A B C$ nedanfor.

Rettvinkla trekant ABC der A C er 6,0 desimeter, B C er 10,0 desimeter og vinkel A er 90 grader. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

vis fasit

Vi bruker Pytagoras si læresetning.

$\begin{array}{rcl} {hypotenus}^{2} & = & {katet}^{2} + {katet}^{2} \\ {katet}^{2} & = & {hypotenus}^{2} - {katet}^{2} \\ A B^{2} & = & 10, 0^{2} - 6, 0^{2} \\ A B^{2} & = & 100 - 36 \\ A B & = & 64 \\ A B & = & \sqrt{64} \\ A B & = & 8, 0 \end{array}$

Lengda $A B$ er 8,0 dm.

2.4.7

I ein rettvinkla trekant er hypotenusen 5,15 cm lang og den eine kateten 2,50 cm lang. Rekn ut lengda av den andre kateten.

vis fasit

Vi bruker Pytagoras si læresetning.

$\begin{array}{rcl} {katet}^{2} + 2, 50^{2} & = & 5, 15^{2} \end{array}$

Løyst med CAS i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} {Katet}^{2} + 2 . 50^{2} = 5 . 15^{2} \\ 1 \\ NLøys : {Katet = - 4.5, Katet = 4.5} \end{array}$

Lengda av den andre kateten er ca. 4,50 cm.

2.4.8

Trekanten $A B C$ nedanfor er likebeint. $A C$ er 6,75 m og $A B$ er 10,80 m. Finn høgda $h$ frå C ned på AB.

Likebeint trekant ABC der A C og B C er 6,75 meter og A B er 10,80 meter. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

vis fasit

Vi bruker Pytagoras si læresetning på halvparten av trekanten ABC.

$\begin{array}{rcl} h^{2} + {(\frac{10, 8}{2})}^{2} & = & 6, 75^{2} \end{array}$

Løyst med CAS i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} h^{2} + {(\frac{10.8}{2})}^{2} = 6 . 75^{2} \\ 1 \\ NLøys : {h = - 4.05, h = 4.05} \end{array}$

(Her er det lurt å bruke parentes når du skal skrive inn likninga.)

Høgda $h$ er ca. 4,05 m.

2.4.9

Firkant. Illustrasjon. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

Gitt firkanten $A B C D$ . $∠ A C D = ∠ A D C,$ $∠ B A C = ∠ A B C, A E$ står normalt på $C D$ og $∠ A C B = 90 °$ . Diagonalen $A C = 4, 2 cm$ og høgda $A E = 3, 9 cm$ .

a) Finn lengda av $A D$ og $B C$ .

vis fasit

Opplysningane om vinklane viser at trekantane $A B C$ og $A C D$ er likebeinte. Då er $A D = B C = A C = 4, 2 cm$

b) Finn lengda av $A B$ og $C D$ .

vis fasit

Bruker Pytagoras til å finne lengda av $A B$ .

Løyser i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} {AB}^{2} = 4 . 2^{2} + 4 . 2^{2} \\ 1 \\ NLøys : {AB = - 5.9, AB = 5.9} \end{array}$

$A B = 5, 9 cm$

Bruker Pytagoras til å bestemme lengda av $C D$ :

$\begin{array}{rcl} {ED}^{2} = 4 . 2^{2} - 3 . 9^{2} \\ 1 \\ NLøys : {ED = - 1.6, ED = 1.6} \end{array}$ $\begin{array}{rcl} CD = 2 \cdot 1.6 \\ 2 \\ NLøys : {CD = 3.2} \end{array}$

Løyser i GeoGebra:

$C D = 3, 2 cm$

c) Finn arealet av firkanten $A B C D$ .

vis fasit

Finn arealet av firkanten som summen av areala av dei to trekantane:

Løyser i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl} Areal = \frac{1}{2} \cdot 4.2 \cdot 4.2 + \frac{1}{2} \cdot 3.2 \cdot 3.9 \\ 1 \\ NLøys : {Areal = 15.1} \end{array}$

Arealet er $15 {cm}^{2}$ .

2.4.1

2.4.2

2.4.3

2.4.4

2.4.5

2.4.6

2.4.7

2.4.8

2.4.9

Reglar for bruk av teksten "Pytagoras si setning"