Fagstoff

Rakettlikninga

Publisert: 07.10.2010, Oppdatert: 03.03.2017
Rakettbil

Grunnlaget for rakettar er Newtons 2. lov. Ho seier at kraft er lik motkraft. Det vil seie at når vi bruker ei kraft for å akselerere ein masse, vil det gi ei nøyaktig like stor motkraft. Korleis kan vi rekne ut rakettytinga? Det er fleire fysiske synsmåtar vi kan bruke for å forstå prinsippet for ein rakettmotor. Vi kan analysere rørsla til ein rakett ved å sjå på rørslemomentet, som er produktet av masse og fart. I rommet, når vi kan sjå bort frå både tyngdekraft og friksjon i atmosfæren, er ein rakett ikkje påverka av ytre krefter. Da vil det totale momentet vere konstant. Ein slik forenkla synsmåte gjeld ikkje ved oppskyting av en satellitt frå bakken, eller oppskyting av ein rakett frå Andøya Space Center der han går gjennom forskjellige lag i atmosfæren.

Rakettlikninga

Momentet p for ein masse m og med fart v er gitt av

p =mv

Dersom det ikkje er ytre krefter som påverkar massen, så vil momentet vere uendra, og fråvere av ytre krefter er typisk for ein satellitt i verdsrommet utanfor atmosfæren.

Prinsippet om bevaring av momentet ved fråvere av ytre krefter kan visast ved hjelp av dei to jernbanevognene som blir skovne frå kvarandre når du klikkar to gonger på den vesle teksten under figuren. Momentet for kvar vogn endrar seg, men det totale momentet er uendra av separasjonen.

You are missing some Flash content that should appear here! Perhaps your browser cannot display it, or maybe it did not initialise correctly. Download player
Bevegelsesmoment
Opphavsmann: Narom
 

Når massen for vogn 1 er 10 gonger så stor som massen for vogn 2, vil farten for dei to vognene vere ulik med ein faktor på 10

20(-v1 )+2(v2)= 0

Enkel utleiing av rakettlikninga

Figuren viser ein lekam som flyg i pilretninga med masse m og fart v.

Rakettmodell. Illustrasjon.Rakettmodell
Forfatter: Gunnar Stette
 

Momentet er

p =mv Δm(v- vd)

Det fører til at resten av massen (m - Δm) får ei lita fartsauke Δv i motsett retning. Momentet for denne delen blir

(m-Δm )(v +Δv)

Summen av momentet for dei to delane er uforandra.

m v = Δ m ( v - v d ) + ( m - Δ m ) ( v + Δ v ) mv=Δm v-Δmvd+mv+m Δv-vΔm -ΔvΔm

Når m utgjer berre ein liten del av massen m, og når fartsauka Δv er lita samanlikna med utskytingsfarten vd, kan vi ta bort siste leddet av likninga framfor likskapsteiknet. Da står vi igjen med

Δvm-Δmvd=0
Δv=vd·Δmm 

Om vi erstattar det eine prosjektilet med ein kulestraum frå eit maskingevær, eller med ein straum gasspartikar frå ein rakettmotor, vil massen stadig minke og farten stadig auke. Dei blir variable funksjonar av tida, m(t) og v(t). Samanhengen mellom desse kan vi skrive som ei differensiallikning.

m / t v d = m ( t ) v r / t

Integrasjon gir

                   Δv=-vd·m0+mm0dmm=vd·logmd+m0m0

Dette blir kalla rakettlikninga, og ho gjeld når raketten brenn i vakuum, og når vi kan sjå bort frå tyngdekrafta og luftfriksjonen.

Likninga kan også skrivast på eksponensiell form.

( m 0 + m d ) = m 0 e Δ v v
Rakettkrefter
I røynda er dette litt meir komplisert, spesielt i oppskytingsfasen.
Figuren viser dei ulike kreftene som verkar på ein rakett i atmosfæren, og under påverknad av tyngdekrafta.
Modell av rakettmotor. Illustrasjon.Modell av rakettmotor
Forfatter: Gunnar Stette
 
Figuren viser prinsippet for ein rakettmotor som arbeider i vakuum. I bakoverretning blir drivgassen gitt ei fartsendring vd som er karakteristisk for det drivstoffet som blir brukt, typisk 3 km per sekund. I framoverretning vil raketthylsteret med attverande drivstoffmasse m(t) bli akselerert:

Likevektslikninga seier da at

m t v d = - m ( t ) d v r t

Her er

  • m(t) = massen for raketthylster pluss resten av drivstoffet ved tidspunkt t
  • dm/dt  = forbrunne drivstoffmengd per sekund, som er lik massen for utstrøymande drivgass per sekund. For ein stor rakett dreier dette seg om fleire tonn drivstoff per sekund.
  • vd = utstrøymingsfarten for drivgassen i meter per sekund. Typiske tal kan vere nokre km per sekund.
  • dvr/dt = akselerasjonen for raketthylster pluss resten av brenselet. Ved bemanna flukter må dette vere innanfor det området som den menneskelege organismen kan tole, nokre få gonger tyngdeakselerasjonen g (sjå Omgrep). Dei rakettane som blir nytta til utforsking av ionosfæren, kan ha mykje høgare akselerasjon, ofte over 100 g.

Minusteiknet tyder at kreftene verkar i motsett retning. Vi kan integrere likninga. Det gir fartsauka når ein rakett har brent ei drivgassmengd md, og massen etter brenninga er m0. Dette leiar til rakettlikninga, som beskrive ovanfor.

Vi ser at fartsauka er direkte proporsjonal med utstrøymingsfarten vd for drivstoffet, mens total drivstoffmasse berre går inn i argumentet for ein logaritmisk funksjon. Det vil seie at fartsauka er mindre enn proporsjonalt med denne parameteren. Av rakettlikninga ser vi:

  • Fartsauka er proporsjonal med utstrøymingsfarten vd. Det er altså viktig å finne drivstoff som gir stor fart på drivgassen.
  • Farten aukar med aukande drivstoffmengd, men langsamare enn proporsjonalt.
  • Låg masse for rakettskroget gir større fartsauke. For ein rakett som skal bringe ein satellitt opp i rommet, vil mr vere summen av rakettmassen og den nyttelasta som skal bringast opp.

Spesifikk impuls

 

Vi kunne karakterisere rakettdrivstoffet ved hjelp av utslippsfarten vd. Det er likevel meir vanleg å bruke parameteren spesifikk impuls, Isp. Han er definert som

 

Isp=vdg0

 

g0 er tyngdeakselerasjonen ved havoverflata, 9,80665 m/s2. Eininga for spesifikk impuls blir dermed sekund. Ein utstrøymingsfart på 3 km/s svarer til ein spesifikk impuls på ca. 306 s.

Den spesifikke impulsen gir uttrykk for tilhøvet mellom den krafta som rakettmotoren gir, og drivstoffmengda som strøymer ut kvart sekund. Krafta er i Newton, og drivstofforbruk per tidseining er kg/s. Det bil seie at eininga for spesifikk impuls blir sekund.

Denne eininga var praktisk for samanlikning av ytekrafta for amerikanske og russiske rakettar. Amerikanarane opererte med pund kraft, mens russarane nytta eininga kg. Eininga sekund var derimot felles, og det letta samanlikninga av rakettytekraft på begge sidene av Atlanteren.

Relatert innhald

Generelt