Fagstoff

Pytagoras’ setning

Publisert: 20.05.2010, Oppdatert: 03.03.2017

 

Pytagoras. Illustrasjon. Pytagoras' setning handlar om rettvinkla trekantar. I slike trekantar er det ein spesiell samanheng mellom lengdene av sidene.Denne samanhengen var kjend i dei tidlegaste sivilisasjonane, men det er frå matematikaren Pytagoras, som levde i Hellas ca 500 år f. Kr., vi har namnet på setninga.

Rettvinkla trekant Teikn ein trekant som er rettvinkla og der dei kortaste sidene er 3 og 4 einingar lange. Figuren viser ein slik trekant som er teikna i GeoGebra. Mål den lengste sida. Blir denne 5 einingar lang?

Ta no alle tre sidelengdene og multipliser dei med seg sjølv. Du får da kvadratet av sidelengdene.

Kvadratet av sidelengda a er a2=52=25Kvadratet av sidelengda b er b2=32=9Kvadratet av sidelengda c er c2=42=16

Jamfør summen av kvadrata av dei to kortaste sidene med kvadratet av den lengste sida. Kva ser du?

Vi ser at 25 = 9 + 16. Det er det same som a2 =b2 + c2.

Det viser seg at denne samanhengen gjeld for alle trekantar som har ein vinkel på 90°.

Rettvinkla trekant med kvadratar  

For å kunne formulere denne samanhengen med ord gir vi namn på sidene i rettvinkla trekantar.

Den lengste sida i ein rettvinkla trekant kallar vi hypotenus. Dei to kortaste sidene kallar vi katetar.

Pytagoras' setning:

hypotenus2 = katet2 + katet2

  a2 = b2 + c2

Rettvinkla trekant

Legg merke til namnsetjinga. Vi bruker store bokstavar som namn på punkt eller hjørne i trekanten. Små bokstavar blir brukte som namn og måltal for sidelengdene. Det er også vanleg at vi har same bokstav på hjørne og side som står motsett kvarandre.

Geometrisk prov for Pytagoras’ setning

Oppdelt kvadrat Lag eit kvadrat med sidelengder a + b slik som figuren viser. Du kan til dømes klippe ut av eit stivt papir, eller du kan teikne i GeoGebra.

Del sidelengdene i to delar a og b, trekk linjer(klipp ut) som figuren viser og få på denne måten 4 like rettvinkla trekantar. Hypotenusen i trekantane kallar du c.

Det lyseblå arealet er eit kvadrat (kvifor?) med oppdelt kvadtrat  sidelengd c og areal c2. 

 

Flytt på trekantane inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lagar du ei ny teikning. Bruk rutenett.)

Arealet i dei to store kvadrata er like store da sidelengdene er lik  a + b.

Samla areal av dei 4 rettvinkla trekantane er like store i begge figurane.

Det må tyde at det lyseblå arealet i dei to figurane er like stort, altså at a2 + b2 = c2. Dette er nettopp Pytagoras' setning for våre rettvinkla trekantar.

Oppgåver
Relatert innhald

Generelt