Fagstoff

Polynomdivisjon

Publisert: 18.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017

Du har tidlegare lært å dividere tal. No skal vi dividere polynom. Framgangsmåten er ganske lik. Du hugsar sikkert også at nokre divisjonar «gjekk opp», vi fekk ingen rest når vi dividerte. I slike tilfelle kunne vi bruke resultatet av divisjonen til å faktorisere talet vi starta med.

Døme

231:7=3321  21  21   0

Dette tyder at 231=33·7.

På tilsvarande måte skal vi bruke polynomdivisjon når vi skal faktorisere tredjegradspolynom.

Døme

Vi ser på tredjegradspolynomet 2x3-7x2+2x+3.

Vi set inn x=1 i polynomet, og får 2·13-7·12+2·1+3=2-7+2+3=0.

Dette tyder at x=1 er eit nullpunkt for polynomet. x-1 er ein faktor i 2x3-7x2+2x+3 og divisjonen 2x3-7x2+2x+3:x-1 vil «gå opp».

Vi skal no sjå på korleis vi utfører sjølve divisjonen.

Polynomdivisjon  

Vi fekk «rest lik 0». Det tyder at divisjonen «gikk opp».

Vi kan då skrive

2x3-7x2+2x+3=2x2-5x-3x-1

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i eit andregradspolynom og eit førstegradspolynom.
Andregradspolynomet kan vi no faktorisere ved hjelp av nullpunktmetoden.

Vi set 2x2-5x-3=0.

Ved å bruke abc-formelen får vi

2x2-5x-3=0            x=--5±-52-4·2·-32·2            x=5±74            x1=3    x2=-12

Det tyder at 2x2-5x-3=2x-3x--12=2x-3x+12=x-32x+1

Her har vi multiplisert inn 2-talet i den siste parentesen.

Fullstendig faktorisering av tredjegradsuttrykket blir

2x3-7x2+2x+3=2x2-5x-3x-1=x-32x+1x-1

Vi får same resultat ved CAS i GeoGebra.

Polynomdivisjon i GeoGebra. Bilde.  

Oppgåver

Generelt