Fagstoff

Geometriske rekkjer

Publisert: 18.03.2013, Oppdatert: 05.03.2017

  Når vi adderer ledda i ei geometrisk talfølgje, får vi ei geometrisk talrekkje. I ei geometrisk rekkje er forholdet mellom eit ledd og leddet før konstant. Vi kallar dette forholdstalet for rekkja sin kvotient, k.

Eit døme på ei geometrisk rekkje er 20 + 40 + 80 + 160 + ...

Kvart ledd i denne rekkja er lik leddet framfor multiplisert med 2. Vi har altså ei geometrisk rekkje med a1= 20 og k = 2.

I avsnittet Geometriske talføljer kom vi fram til at ledd nummer n i ei geometrisk talfølje er gitt ved

an=a1·kn-1

Denne formelen gjeld også for ledd nummer n i ei geometrisk rekkje. Det tyder at når vi kjenner an og k i ei geometrisk rekkje, kan vi finne alle ledda i rekkja.

Døme

Vi skal bestemme kvotienten og det første leddet i ei geometrisk rekkje, der a5=243 og a8=6 561.

Det er 8 - 5 = 3 plasser frå a5 til a8.

Det gir at

a8=a5·k3k3=a8a5=6561243=27k=273=3

Vi kan då finne a1

a5=a1·k5-1         a1=a5k4=24334=24381=3

Den geometriske rekkja blir då

3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187 + 6561 +...

Summen av ei geometrisk rekkje

Vi ønskjer å finne ein formel for summen av dei n første ledda i ei geometrisk rekkje. Vi finn først summen av dei 5 første ledda.

Vi har at

S5=a1+a2+a3+a4+a5S5=a1+a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4

Vi multipliserer begge sidene i likninga med k


k·S5=k·(a1+a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4)k·S5=a1·k+a1·k2+a1·k3+a1·k4+a1·k5

 Vi finn så differansen mellom k·S5 og S5

Geometriske rekker, utregning  

Her opptrer dei fleste ledda i par. Ledd markerte med same farge har same verdi, men motsett forteikn og fell bort. Dette gir

k·S5-S5=a1·k5-a1S5k-1=a1·k5-1        S5=k5-1k-1    k1

Vi kan ikkje ha ein brøk med null i nemnar. Difor gjeld formelen berre når k1 . Dersom k=1 , blir alle ledda i rekkja like. Summen av rekkja blir då S5=5·a1.

Resonnementet ovanfor gjeld på same måte om vi bytter ut talet på ledd i rekkja med kva som helst for eit anna naturleg tal enn 5.

 

Summen av dei n første ledda i ei geometrisk rekkje er gitt ved formelen

 

Sn=a1kn-1k-1   når k1

Når k = 1 blir Sn=n·a1.

 
Oppgåver

Generelt