Fagstoff

Ulikskapar av andre grad

Publisert: 17.10.2012, Oppdatert: 04.03.2017

 

I dømet om ulikskapar av første grad kunne vi altså løyse ulikskapen direkte. Men for ulikskapar av høgre grad må vi gjere det på ein annan måte.

Gitt ulikskapen

x2<5x-4

Vi ordnar ulikskapen slik at vi får null på høgre side.

x2-5x+4<0

Vi finn så nullpunkta til uttrykket x2-5x+4 ved å bruke til dømes abc-formelen

x2-5x+4=0          x=--5±-52-4·1·42·1          x=5±92          x=5±32          x1=4    x2=1

Vi veit no at uttrykket x2-5x+4 er lik 0 når x=1 og når x=4. Det er bare for desse x-verdiane eit slikt andregradsuttrykk kan skifte forteikn.

Det tyder at uttrykket enten er positivt eller negativt for alle x-verdiar i kvart av dei tre intervalla ,1 ,1,4 og 4, . For å avgjere om uttrykket er positivt eller negativt i kvart av intervalla, kan vi ta «stikkprøver» for ein x-verdi i kvart intervall.

Vi veit at uttrykket kan faktoriserast slik at x2-5x+4=x-4x-1. Det er lettast å bruke det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

x2-5x+4=x-4x-1

For x=0 får vi

0-40-1=-4·-1 Uttrykket er positivt.

For x=2 får vi

2-42-1=-2·1 Uttrykket er negativt.

For x=5 får vi

5-45-1=1·4 Uttrykket er positivt.

Det er ikkje nødvendig å rekne ut verdien i parentesane. Det som tyder noko er forteikna på parentesuttrykka.

For å få ei oversikt over situasjonen set vi opp eit forteiknsskjema. Det består av ei tallinje som viser x-verdiane, og ei forteiknslinje som viser forteiknet til uttrykket i dei aktuelle intervalla. Heiltrekt linje markerer at uttrykket er positivt i dette talintervallet, og stipla linje markerer at uttrykket er negativt. Ein «0» viser at uttrykket er lik null for denne x-verdien.Ulikskapar av andre grad  Vår oppgave var å finne ut for kva verdiar av x det stemte at x2<5x-4. Det er det same som å finne ut når x2-5x+4<0. Ut frå forteiknslinja er det no lett å finne løysinga på oppgåva.

Løysinga på oppgåva er at x må liggje mellom 1 og 4, dvs. x1,4 . Merk at sidan uttrykket vårt skulle vere mindre enn null så skal ikkje 1 og 4 vere med i løysinga.

I CAS i GeoGebra nyttar vi knallen "løys likning"

Ulikheter i GeoGebra. Utklipp    

Relatert innhald

Generelt