Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. FaktoriseringChevronRight
  5. PolynomdivisjonChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Polynomdivisjon

Du har tidligere lært å dividere tall. Nå skal vi dividere polynomer. Framgangsmåten er ganske lik.

Du husker sikkert også at noen divisjoner «gikk opp». Vi fikk ingen rest når vi dividerte. I slike tilfeller kunne vi bruke resultatet av divisjonen til å faktorisere tallet vi startet med.

Eksempel 1

Husker du hvordan du regnet et slik delingsstykke?

938:7=1347232128280

Dette betyr at  938=134·7

På tilsvarende måte skal vi bruke polynomdivisjon når vi skal faktorisere tredjegradspolynomer.

La oss først se hva vi egentlig gjør i divisjonsalgoritmen over.

938 er egentlig en forkortet skrivemåte for  900+30+8. Det vil si 9 hundrere pluss 3 tiere pluss 8 enere. Med penger kan vi si 9 hundrelapper pluss 3 tikroner pluss 8 kronestykker.

Når vi skal dele dette på 7, kan vi spørre hvor mye det blir på hver.

Vi kan først spørre hvor mange hundrere det blir på hver. Vi ser at det blir 1 (hel) hundrer på hver.

Men da har vi 2 hundrere igjen som kan gjøres om til 20 tiere. Da har vi til sammen 23 tiere som delt på 7 gir 3 (hele) tiere på hver.

Vi har da igjen 2 hele tiere som vi kan gjøre om til 20 enere, slik at vi har til sammen 28 enere igjen. Deler vi disse på 7, blir det 4 enere på hver.

Det blir altså 1 hundrer, 3 tiere og 4 enere på hver.

Det betyr, som vi så over, at  938:7=134

Algoritmen kan settes opp slik:

      (900+30+8):7=100+30+4-700     200+30+8-(200+10)                 20+8            -(20+8)                           0

Differansen, eller resten, blir null, og divisjonen går opp, som vi sier.

Eksempel 2

Vi ser på tredjegradspolynomet  2x3-7x2+2x+3.

Vi setter inn  x=1  i polynomet og får

2·13-7·12+2·1+3=2-7+2+3=0.

Dette betyr at  x=1  er et nullpunkt for polynomet. x-1  er en faktor i 2x3-7x2+2x+3, og divisjonen  2x3-7x2+2x+3:x-1  vil «gå opp».

Vi skal nå se på hvordan vi utfører selve divisjonen.

Selve divisjonen

Forklaring

(2x37x2+2x+3):(x1)=2x25x3 (2x32x2)5x2+2x+3(5x2+5x)3x+3(3x+3)0

 2x3:x=2x2 (x1)·2x2=2x3-2x2(2x37x+2x+3)(2x32x2)=5x2+2x+35x2:x=5x, (x1)·(5x)=5x2+5x5x2+2x+3(5x2+5x)=3x+33x:x=3, (x-1)·(3)=3x+33x+3(3x+3)=0

Vi fikk "rest lik 0". Det betyr at divisjonen gikk opp.

Vi kan da skrive

2x3-7x2+2x+3=2x2-5x-3x-1

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Andregradspolynomet kan vi nå faktorisere videre ved hjelp av nullpunktmetoden.

Vi setter 2x2-5x-3=0.

Ved å bruke abc-formelen får vi

2x2-5x-3 = 0            x=--5±-52-4·2·-32·2            x=5±74            x1=3    x2=-12

Det betyr at

2x2-5x-3=2x-3x--12=2x-3x+12=x-32x+1

Her har vi multiplisert inn 2-tallet i den siste parentesen.

Fullstendig faktorisering av tredjegradsuttrykket blir

2x3-7x2+2x+3 = 2x2-5x-3x-1=x-32x+1x-1

Vi får det samme resultatet i CAS i GeoGebra ved å skrive inn tredjegradsuttrykket og bruke knappen for faktorisering.

2x3-7x2+2x+31Faktoriser: x-3x-12x+1

Læringsressurser

Faktorisering