Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Vekstfart og derivasjon av funksjonerChevronRight
  5. Momentan vekstfart. Den deriverteChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagstoff

Momentan vekstfart. Den deriverte

Vi ønsker å finne en tilnærmet verdi for hvor fort et tre vokser når det er akkurat ett år gammelt. Vi kaller dette for den momentane veksten, eller den deriverte, når treet er ett år.

I 2006 plantet Elin et morelltre. Funksjonen h gitt ved

hx=-0,003x3+0,09x2+1     x0, 20

viser høyden til morelltreet i meter x år etter at det ble plantet.

Vi finner først gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det tredje året og deretter fra det første året til det andre året.

Vekstfart. Grafer.


Grafene ovenfor viser at gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det tredje året er 32 cm per år, og at gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det andre året er 25 cm per år.

Stigningen til sekantene blir mer og mer lik brattheten til grafen jo nærmere hverandre de to punktene er. Av de to tilnærmingsverdiene er det derfor den siste som er den beste tilnærmingen.

Vekstfart. Graf.

For å finne en enda bedre tilnærmingsverdi, reduserer vi avstanden mellom punktene enda mer.

Til slutt vil punktene falle sammen til ett punkt, og sekanten blir en tangent til kurven i dette punktet.

Stigningen til denne tangenten gir den aller beste tilnærmingsverdien for den momentane vekstfarten når x=1.

Vi kan altså finne en tilnærmet verdi for den momentane vekstfarten, eller den deriverte, i et punkt på en kurve ved å tegne en tangent til kurven i punktet og finne stigningstallet til denne tangenten.

Dette gjøres i GeoGebra ved først å velge et punkt på grafen, så velge kommandoen Tangenter og til slutt kommandoen Stigning.



Læringsressurser

Vekstfart og derivasjon av funksjoner