Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Vekstfart og derivasjon av funksjonerChevronRight
  5. Drøfting av polynomfunksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Drøfting av polynomfunksjoner

Vi kan bruke den deriverte funksjonen til å finne topp- og bunnpunkter på grafen til en funksjon og til å bestemme hvor grafen stiger og synker.

Kvinne klatrer i en fjellvegg. Foto.

Monotoniegenskaper

Å finne ut hvor grafen til en funksjon stiger og hvor grafen synker, kalles for å drøfte funksjonens monotoniegenskaper.

Å drøfte en funksjon betyr gjerne at vi skal undersøke monotoniegenskapene og bestemme topp- og bunnpunkter på grafen.

Drøfting av polynomfunksjoner

Her kommer en utfordring:

Tegn grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved

fx=13x3-12x2-2x+1

Tegn deretter tangenter til grafen for noen x-verdier mellom -2 og 3.

Undersøk om det er en sammenheng mellom tangentenes stigningstall og hvorvidt grafen stiger, synker eller har topp- eller bunnpunkter.

Bilde av ulike detaljer på grafen. Illustrasjon.

Her kan du se at

  • stigningstallet til tangenten er positivt når grafen stiger for stigende x-verdier
  • stigningstallet til tangenten er negativt når grafen synker for stigende x-verdier
  • stigningstallet til tangenten er null i topp- og bunnpunkter for stigende x-verdier

Siden tangentens stigningstall er lik den deriverte til funksjonen, betyr dette følgende:

Når grafen stiger for stigende x-verdier, er den deriverte positiv. Det motsatte gjelder også: Hvis den deriverte er positiv, så stiger grafen.

Når grafen synker for stigende x-verdier, er den deriverte negativ. Det motsatte gjelder også: Hvis den deriverte er negativ, så synker grafen.

Når grafen har topp- eller bunnpunkt, er den deriverte lik null.

Dette betyr at vi kan finne ut for hvilke verdier av x grafen til en funksjon stiger, for hvilke verdier av x den synker og når den har topp- eller bunnpunkt ved å se på fortegnet til den deriverte. Vi viser dette gjennom noen eksempler.

Eksempel 1

Vi skal finne eventuelle maksimal- og minimalpunkter til en funksjon der den deriverte funksjonen har følgende graf:

Løsning

Den deriverte funksjonen, f', har nullpunktene  x=-2  og  x=13.

For  x<-2  er f' positiv, som betyr at grafen til f stiger. For  -2<x<13  er f' negativ, som betyr at grafen til f synker. Det betyr at  x=-2  er et maksimalpunkt for funksjonen f.

For  -2<x<13  er f' negativ, som betyr at grafen til f synker. For  x>13  er f' positiv, som betyr at grafen til f stiger. Det betyr at  x=13  er et minimalpunkt for funksjonen f.

Vi tegner grafen til en funksjon som passer med opplysningene ovenfor:


Eksempel 2

Drøft monotoniegenskapene til en funksjon der den deriverte funksjonen har grafen under til høyre.

Funksjonen f har nullpunkt  x=12  og  f2=1.

Lag en skisse av grafen til f.

Løsning

Vi kan sette opp fortegnslinja til f'(x):

Vi legger merke til at den deriverte ikke skifter fortegn i nullpunktet. Den deriverte er positiv for  x2. Det betyr at funksjonen er voksende både før og etter at  x=2. Grafen til funksjonen f har verken topp- eller bunnpunkt for  x=2, men siden den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal for  x=2. Et slikt punkt på grafen kalles for et terrassepunkt.

Nedenfor har vi tegnet en skisse av grafen til f.

Stasjonære punkter

Gitt funksjonen f(x). I et stasjonært punkt er  f'x=0.

Et stasjonært punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt hvis f'(x) skifter fortegn i punktet.

Et terrassepunkt er et stasjonært punkt hvor funksjonen ikke endrer seg fra voksende til avtagende eller fra avtagende til voksende. Det vil si at den deriverte ikke skifter fortegn.

Stasjonære punkter kan være topp- eller bunnpunkter eller terrassepunkter.

Eksempel 3

På grunnlag av den deriverte funksjonen  f'x=-2x+4  skal vi finne når grafen til funksjonen f stiger og når den synker. Vi skal også finne eventuelle maksimal- eller minimalpunkter. Videre skal vi ved regning finne et mulig funksjonsuttrykk for f.

Løsning

Vi setter  f'x=0.

-2x+4 = 0    -2x=-4        x=2

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige x-verdier i hvert av de aktuelle intervallene , 2 og 2,  for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

f'0=-2·0+4=4>0f'3=-2·3+4=-2<0

Vi kan da sette opp fortegnslinja til f'(x):

Fortegnslinje. Bilde.

Vi ser av fortegnslinja at grafen vokser for  x, 2 , og at grafen synker når  x2, .

Grafen til f(x) har derfor et toppunkt når  x=2.

Vi vet at hvis toppunktet ligger over x-aksen, så har grafen to nullpunkter. Grafen er også symmetrisk om symmetrilinja som går gjennom toppunktet. En funksjon med nullpunkter  x=1  og  x=3  og med negativ koeffisient foran andregradsleddet, vil derfor oppfylle kravene.

En mulig funksjon er derfor

fx = -x-1x-3= -x2-3x-x+3= -x2+4x-3


Toppunktet for denne funksjonen er

 (2, f(2))=2, -22+4·2-3=2, -4+8-3=(2, 1)

Funksjonen har maksimalpunkt  x=2  og maksimalverdi  f(2)=1.

Vi tegner grafen i GeoGebra og ser at det vi har funnet ut ved regning er riktig.

Sammenligning av graf og fortegnslinje. Graf.

Eksempel 4

Funksjonen

fx=-14x3-58x2+12x+38

har den deriverte funksjonen

f'x=-34x2-54x+12

Vi skal ved regning drøfte monotoniegenskapene til f og finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Vi skal også ved regning finne nok opplysninger om grafen til å lage en skisse av grafen.

Løsning

Vi setter  f'x=0.

-34x2-54x+12 = 0x=--54±-542-4·-34·122·-34x=54±2516+2416-32x=54±74-32=-5±76x=13  eller  x=-2

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene , -2, -2, 13 og 13,  for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

f'-3 = -34-32-54-3+12=-274+154+24=-104<0f'0 = -3402-540+12=12>0f'1 = -3412-541+12=-2+12<0

Vi kan da sette opp fortegnslinja til f'x.

Fortegnslinje. Bilde.

Vi ser av fortegnslinja at

  • Grafen synker for x, -213, .
  • Grafen stiger for x-2, 13.

Grafen til f har altså et toppunkt når  x=13  og et bunnpunkt når  x=-2 .

f-2 = -14-23-58-22+12-2+38=168-208-88+38=-98f13=-14133-58132+1213+38=-122·33-523·32+12·3+323=-2-15+36+8123·33=10023·33=2554

Toppunktet er 13 , f13=13 , 2554.
Bunnpunktet er -2 , f-2=-2 ,- 98.
Funksjonen har maksimalpunkt  x=13  og maksimalverdi -98.
Funksjonen har minimalpunkt  x=-2  og minimalverdi -98.

Det gjenstår nå å finne nullpunktene til f for å ha tilstrekkelig grunnlag for å tegne en skisse av grafen.

Funksjonsuttrykket til f er et tredjegradspolynom. Vi prøver om  x=-1  kan være et nullpunkt for polynomet:

f-1=-14-13-58-12+12-1+38=28-58-48+38=-480

Vi prøver om  x=1  kan være et nullpunkt for polynomet:

f1=-1413-5812+121+38=-28-58+48+38=0

Det betyr fx er delelig med x-1.

Vi foretar polynomdivisjonen:

-14x3-58x2+12x+38:(x-1)=-14x2-78x-38-(-14x3+14x2)-78x2+12x+38-(-78x2+78x)-38x+38-(-38x+38)0

Nå er f(x)=-14x2-78x-38x-1.

Vi løser så likningen:

-14x2-78x-38 = 02x2+7x+3 = 0x = -7±49-244=-7±54x = -12     eller      x=-3

Det betyr at f(x) har nullpunktene  x=-3,  x=-12  og  x=1.

På grunnlag av de opplysningene vi nå har, kan vi tegne en skisse av grafen.

Vi tegner her grafen i GeoGebra:

Maksimalpunkter og minimalpunkter kaller vi ekstremalpunkter. Andrekoordinaten til et toppunkt er en maksimalverdi til funksjonen, og andrekoordinaten til et bunnpunkt er en minimalverdi. Maksimal- og minimalverdiene er ofte lokale maksimal- og minimalverdier. Det vil si at de er maksimal- og minimalverdier i et intervall omkring ekstremalpunktet.

Læringsressurser

Vekstfart og derivasjon av funksjoner