Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. Tall og algebraChevronRight
  4. Prosent og prosentvis vekstChevronRight
  5. VekstfaktorChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Vekstfaktor

Vekstfaktoren kan spare oss for mye arbeid når vi regner med prosentvis endring.

Prisøkning

Kvinne i klesbutikk. Foto.

En vare koster 1 500 kroner.

Hva vil varen koste dersom prisen øker med 25%?

Løsning

Til nå har vi funnet ny pris på følgende måte:
Vi beregner prisøkningen ved først å dele prisen på 100 for å finne hva 1% utgjør, og så multipliserer vi med 25 for å finne hva 25% utgjør. Så legger vi prisøkningen til gammel pris og finner ny pris.
Regnestykket blir

Ny pris=1 500 kroner+1 500100·25 kroner=1 875 kroner.

I stedet for å regne som beskrevet ovenfor, kan vi regne slik:

Ny pris=1 500+1 500100·25=1 500+1500·25100=1 5001+25100=1 5001+0,25=1 500·1,25=1 875

Dette blir mye enklere. Vi multipliserer gammel pris med 1,25 og finner ny pris.

Tallet 1,25 kalles vekstfaktoren.

Du finner ny pris ved å multiplisere gammel pris med vekstfaktoren.

Ny pris=Gammel pris·Vekstfaktor

Avslag i pris

Utvalg av ski i sportsbutikk. Foto.

En vare koster 1 500 kroner.

Hva må du betale for varen når du får et avslag på 25%?

Løsning

Vi følger samme framgangsmåte som ved prisøkningen i eksempelet over.

Ny pris = 1 500-1 500·25100=1 5001-25100=1 5001-0,25=1 500·0,75=1 125

Ny pris blir 1 125 kroner.

Tallet 0,75 kalles også i dette tilfelle for vekstfaktoren selv om prisen ikke vokser, men avtar. Vi sier at vi har negativ vekst.

Du ser igjen at du finner ny pris ved å multiplisere med vekstfaktoren.

Du finner ny pris ved å multiplisere gammel pris med vekstfaktoren.

Ny pris=Gammel pris·Vekstfaktor

Dette fører til at prosentregningen blir mye enklere.

Konklusjon

Når du skal øke et tall med p %, blir vekstfaktoren 1+p100.

Når du skal redusere et tall med p %, blir vekstfaktoren 1-p100.

I begge tilfeller må du multiplisere gammel verdi med vekstfaktoren for å finne ny verdi.


Ved bruk av vekstfaktor kan du raskt finne ny pris når det skjer flere prosentvise endringer etter hverandre.

Eksempel 1

Salgsplakater i en butikk. foto.
Hva er vekstfaktoren her?

En vare som koster 500 kroner blir først satt opp med 12 %, for så å bli satt ned med 20 %. Finn ny pris.

Løsning

Etter prisøkningen blir prisen

500 kroner·1,12=560 kroner

Etter at prisen så blir satt ned igjen, vil varen koste

(500 kroner·1,12)·0,80=500 kroner·1,12·0,80=448 kroner

Eksempel 2

Et beløp på 10 000 kroner står i banken til en fast rente på 3 % per år. Hvor mye har beløpet vokst til dersom det står 8 år i banken?

Løsning

Beløpet etter 8 år:

10 000 kroner·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03=10 000 kroner·1,038=12668 kroner

Ved CAS i GeoGebra får vi

10000·1.038112667.7

Eksponentiell vekst

Når en størrelse har samme prosentvise endring over flere perioder av samme lengde, for eksempel over flere år, har vi eksponentiell vekst.

I eksempel 2 vil 10 000 kroner etter x år i banken vokse til kroner  10000·1,03x. Nedenfor har vi skrevet inn denne formelen på skrivelinja i GeoGebra, og vi fikk da tegnet en graf som viser utviklingen på pengebeløpet i banken de neste 180 år.

Grafen til funksjonen f av x er lik 10000 multiplisert med 1,03 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 180. På x-aksen har vi antall år pengene står i banken, og på y-aksen har vi antall kroner i banken. Grafen stiger brattere og brattere. Skjermutklipp.
Eksponentiell vekst ved banksparing

Vi ser av grafen at økningen på bankinnskuddet er nokså moderat de første årene, for så å nærmest eksplodere. Det er dette som er karakteristisk ved eksponentiell vekst.

Eksempel 3

I begynnelsen av mars 2020 oppdaget myndighetene i Norge de første tilfellene av personer smittet med koronaviruset. Myndighetene visste at hvis ikke tiltak ble satt inn for å hindre spredning av viruset, så ville i gjennomsnitt hver koronapasient smitte cirka 2,4 andre personer. Det ville bety en eksponentiell vekst av antall nye smittede med en vekstfaktor på 2,4. De antok at ett smitteledd tilsvarte fem dager.
Det vil si at for hver femdagersperiode ble det smittet et antall nye personer som var 2,4 ganger så mange som de som ble smittet i forrige femdagersperiode.
I regnearket og grafen nedenfor vises smittekjeden fra bare én person. Regnearket viser at etter seks smitteledd, altså bare en måneds tid, vil smittekjeden fra bare denne ene pasienten gi 191 nye smittede, og til sammen vil det ha ført til 327 pasienter.

Det er etter seks smitteledd, eller en måned, at antall nye smittede virkelig øker under disse forutsetningene.
I oppgaven Koronaviruset og eksponentiell vekst kan du utforske hvilken utvikling vi kan forvente ved endrede forutsetninger.

Regneark som viser utviklingen av koronasmitte. Ut ifra antall dager i ett smitteledd, som er 5, og vekstfaktoren, som er 2,4, blir antall nye smittede personer og sum smittede personer regnet ut for smitteledd nummer 1 til 12. Skjermutklipp.
Mulig utvikling av koronasmitte
Grafen til funksjonen f av x er lik 2,4 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 11. På x-aksen har vi antall smitteledd, og på y-aksen har vi antall nye smittede personer. Grafen stiger brattere og brattere. Skjermutklipp.
Mulig utvikling av koronasmitte

Eksempel 4

Adam setter 5 000 kr i banken. Rentefoten er 2,0 % per år. Hvor lenge må pengene stå i banken før det står 5 500 kr på kontoen?

Løsning

Vi kan sette opp følgende likning der x er tiden pengene må stå i banken:

5 000·1,02x=5500

En slik likning kalles en eksponentiallikning fordi den ukjente opptrer som eksponent i en potens.

Vi kan løse likningen med CAS i GeoGebra.

5000·1.02x=55001NLøs: {x=4.81}

Pengene må stå i banken i nesten fem år før det står 5 500 kroner på kontoen.

Eksempel 5

Vi antar at innbyggertallet i Småby vokser med 1,5 % hvert år. Det bor i dag 13 000 personer i Småby. Hvor mange år går det før innbyggertallet er 15 000?

Løsning

Vi finner vekstfaktoren:

1+1,5100=1,015

Vi kan sette opp og løse følgende eksponentiallikning ved CAS i GeoGebra:

13000·1.015x=150001NLøs: {x=9.611}

Innbyggertallet vil være 15 000 om snaue 10 år.

Eksempel 6

Bruktbiler. Foto.
Hvor mange år vil det gå før bilens verdi er halvert?

Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 % hvert år siden den var ny, og Kari regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene.
Hvor lang tid går det før bilens verdi er halvert i forhold til hva Kari betalte?

Løsning

Vekstfaktoren blir 1-10100=0,90.

Bilens verdi x år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved  200000·0,90x .

For å finne ut hvor mange år det går før bilens verdi er halvert, kan vi sette opp og løse eksponentiallikningen nedenfor ved CAS i GeoGebra.

200000·0.90x=1000001NLøs: {x=6.58}

Verdien til bilen er halvert etter 6,6 år.

Eksempel 7

Prisen på en vare er satt ned med 15 %. Varen koster nå 1 700 kroner.

Hva kostet varen før prisen ble satt ned?

Løsning

Den nye prisen på kroner 1 700 ble regnet ut ved at den opprinnelige prisen ble multiplisert med vekstfaktoren. Vekstfaktoren blir da

1-15100=0,85

Vi kaller opprinnelige prisen for x og setter opp en likning:

 x·0,85 = 1 700x·0,850,85=1 7000,85        x= 1 7000,85        x=2 000

Varen kostet 2 000 kroner før prisen ble satt ned.

Ved å løse likningen ser du at den opprinnelige prisen er lik den nye prisen dividert med vekstfaktoren. Dette gjelder alltid. Det er altså ikke nødvendig å regne med likning for å finne opprinnelig verdi.

Du finner opprinnelig verdi ved å dividere ny pris med vekstfaktoren.

Læringsressurser

Prosent og prosentvis vekst

Hva er kjernestoff og tilleggsstoff?