Den generelle andregradsfunksjonen

En funksjon $f$ som kan skrives på formen

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

og hvor $a \neq 0$ , kalles en andregradsfunksjon.

I tillegg til andregradsleddet har vi vanligvis et førstegradsledd, et ledd med $x$ i første potens og et konstantledd. Verdiene av $a$ , $b$ og $c$ er forskjellige fra funksjon til funksjon.

Grafen til en andregradsfunksjon kalles en parabel.

Her er to eksempler på andregradsfunksjoner og grafene deres:

$f (x) = - x^{2} + 3 x + 4$ og $g (x) = x^{2} - 4 x + 2$

På venstre halvdel er grafen til funksjonen f av x er lik minus x i andre pluss 3 x pluss 4 tegnet for x-verdier mellom minus 1,5 og 4,5. Toppunktet med koordinater 1,5 og 6,3 er markert. Nullpunktene med koordinater minus 1 og 0 og koordinatene 4 og 0 er markert. Skjæringspunktet med koordinatene 0 og 4 mellom grafen og y-aksen er markert. Den loddrette symmetrilinjen gjennom toppunktet er tegnet inn. På høyre halvdel er grafen til funksjonen g av x er lik x i andre minus 4 x pluss 2 tegnet for x-verdier mellom minus 1 og 4,5. Bunnpunktet med koordinater 2 og minus 2 er markert. Nullpunktene med koordinater 0,6 og 0 og koordinatene 3,4 og 0 er markert. Skjæringspunktet med koordinatene 0 og 2 mellom grafen og y-aksen er markert. Den loddrette symmetrilinjen gjennom bunnpunktet er tegnet inn. Skjermutklipp. — Olav Kristensen, Stein Aanensen, GeoGebra

Det mest karakteristiske trekket med parabler er at de har et toppunkt eller bunnpunkt. De har også ei symmetrilinje som er parallell med $y$ -aksen og går gjennom topp- eller bunnpunktet.

Legg merke til at grafen har toppunkt når andregradsleddet er negativt og bunnpunkt når andregradsleddet er positivt.

I tillegg har begge funksjonene i figuren over to nullpunkter hver. Vi minner om at nullpunkter er skjæringspunkter mellom grafen til en funksjon og $x$ -aksen. Se artikkelen Nullpunkt. En andregradsfunksjon trenger imidlertid ikke å ha nullpunkt.

Definisjonsmengde og verdimengde

Funksjonene $f$ og $g$ ovenfor er definert for alle verdier av $x$ . Vi ser imidlertid av grafen at $f$ bare kan få verdier som er lik eller mindre enn 6,25. Verdimengden til $f$ er derfor alle tall som enten er lik 6,25 eller mindre enn 6,25. Vi skriver

$D_{f} = ℝ, V_{f} = 〈 \leftarrow, 6.25]$

På samme måte ser vi at verdimengden til $g$ er alle tall som enten er lik $- 2$ eller større enn $- 2$ . Da får vi tilsvarende

$D_{g} = ℝ, V_{g} = [- 2, \to 〉$

Arealfunksjonen $A (x)$ vi innledet emneområdet med (Se artikkelen Andre funksjonstyper), hadde en definisjonsmengde fra 0 til 6 meter. Verdimengden var fra 0 til 9 kvadratmeter. Det gir da

$D_{A} = [0, 6], V_{A} = [0, 9]$

Den generelle andregradsfunksjonen

Definisjonsmengde og verdimengde

Regler for bruk av bildet:

Regler for bruk av videoen:

Siden har flyttet, men du kan finne den her: