Ulikheter av andre grad og andregradsfunksjoner

Ulikheten $\frac{1}{2}{x}^2-2x-1\le x-1$ kan løses grafisk.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde

Vi kan la venstresiden være funksjonen $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-2x-1$ og høyresiden funksjonen $g\left(x\right)=x-1$.

Nå vil $x-$koordinatene til skjæringspunktene mellom grafene til $f$ og $g$ være løsningen av likningen $\frac{1}{2}{x}^2-2x-1=x-1$.

Vi får løsningene

$x=0 \mathrm{eller} x=6$

Ulikheten $\frac{1}{2}{x}^2-2x-1\le x-1$ kan løses grafisk ved å undersøke hvor grafen til $f$ ligger under eller skjærer grafen til $g$.

Vi ser grafisk at det er tilfelle når $0\le x\le 6$.

Ulikheten $\frac{1}{2}{x}^2-2x-1>x-1$ kan løses grafisk ved å undersøke hvor grafen til $f$ ligger over grafen til $g$.

Vi ser grafisk at det er tilfelle når

$x<0 \mathrm{eller} x>6$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde

Ulikheten $\frac{1}{2}{x}^2-2x-1\le x-1$ kan alternativt løses ved først å samle alle ledd på venstre side. Da får vi ulikheten $\frac{1}{2}{x}^2-3x\le 0$, og vi kan da undersøke når grafen til funksjonen $h\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-3x$ ligger under $x-$aksen.

Vi ser grafisk også her at det er tilfelle når $0\le x\le 6$.