I naturen utgjør en samling individer av en art innenfor et avgrenset område en populasjon.

Hvis en art får formere seg under stabile forhold med jevn tilgang til mat i et stabilt klima og med fast prosentvis reduksjon på grunn av sykdommer og rovdyr, kan vekstfarten til antall individer i populasjonen være proporsjonal med størrelsen på populasjonen. Hvert individ genererer i gjennomsnitt like mange nye individer, og det er derfor antall individer til enhver tid som bestemmer veksten.

Da har vi i tilfelle proporsjonal vekst, slik som med banksparing med kontinuerlig forrentning, som du kan finne på siden Proporsjonal vekst. Proporsjonalitetskonstanten avhenger av de faktorer som har betydning for utviklingen.

Under slike stabile forhold, hvor vi lar $$N$$ betegne antall individer i et område, kan utviklingen beskrives av differensiallikningen

$$N^{\text{'}}=k·N$$

Hvis vi løser denne likningen, får vi

$$\begin{array}{rcl} N^{\text{'}}& = & k·N\\ & & \\ N^{\text{'}}-k·N& =& 0\\ & & \\ N^{\text{'}}·e^{-kt}-k·N·e^{-kt}& =& 0·e^{-kt}\\ & & \\ {\left(N·e^{-kt}\right)}^{\text{'}}& =& 0\\ & & \\ N·e^{-kt}& =& \int 0 dt\\ & & \\ & =& C\\ & & \\ N& =& \frac{C}{e^{-kt}}\\ & & \\ & =& C·e^{kt}\end{array}$$

hvor $$C$$ står for antall individer ved starten.

I naturen kan slike stabile forhold forekomme i et begrenset tidsintervall når en populasjon får utvikle seg med ubegrenset tilgang til mat og uten naturlige fiender og sykdommer. Et typisk eksempel kan være utviklingen av antall bakterier i en bakteriekultur i en tidlig utviklingsfase.

En vanlig utvikling er at når antall individer i en populasjon blir stort nok, så inntrer endringer. Tilgangen til næring begrenses på grunn av et stort antall individer og sykdommer oppstår. Ingen populasjoner kan vokse ubegrenset. Bæreevnen, $$B$$, for et område forteller hvor mange individer det aktuelle området maksimalt kan gi næring til. Du kan lese mer om bæreevne på NDLA Naturfag på siden Vekst i populasjoner.

Biologer har funnet ut at under ustabile forhold i et område med bæreevne $$B$$, vil en modell hvor veksten er proporsjonal med både antall individer og differensen mellom bæreevnen og antall individer, beskrive utviklingen på en god måte.

$$N^{\text{'}}=k·N·\left(B-N\right)$$

Vi ser at etter denne modellen vil veksten være null når antall individer har nådd bæreevnen.

Denne modellen for vekst kalles for logistisk.

Modellen for logistisk vekst kan også brukes for å beskrive veksten til for eksempel et tre. Treets høyde utvikler seg nærmest eksponentielt den første tiden. Siden flater veksten ut og treet
nærmer seg gradvis sin maksimalhøyde.

Vi vil løse differensiallikningen for logistisk vekst. Antall individer er funksjon av tiden.

$$N^{\text{'}}=k·N·\left(B-N\right)$$

Likningen er separabel og vi dividerer slik at vi får $$N$$ og $$N^{\text{'}}$$ i ett ledd på venstre side

$$\begin{array}{rcl}{N}^{\text{'}}& = & k·N·\left(B-N\right)\\ & & \\ \frac{1}{N\left(B-N\right)}{N}^{\text{'}}& =& k\end{array}$$

Vi spalter så i delbrøker før vi integrerer

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{N\left(B-N\right)}& = & \frac{a}{N}+\frac{b}{B-N}\\ & & \\ & =& \frac{a·\left(B-N\right)}{N·\left(B-N\right)}+\frac{b·N}{\left(B-N\right)·N}\\ & & \\ & =& \frac{aB-aN+bN}{N·\left(B-N\right)}=\frac{\left(b-a\right)N+aB}{N·\left(B-N\right)}\end{array}$$

Siden telleren i brøken til venstre skal være lik telleren i brøken til høyre,
må vi ha

$$\begin{array}{c}\left(b-a\right)N=0\\ a·B=1\end{array}\}\Rightarrow a=b=\frac{1}{B}$$

Vi får to brøker og kan integrere. (Husk at $$B$$ er en konstant, mens $$N$$ er populasjonsfunksjonen.)

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{N\left(B-N\right)}{N}^{\text{'}}& = & k\\ & & \\ \left(\frac{\frac{1}{B}}{N}+\frac{\frac{1}{B}}{B-N}\right)\frac{dN}{dt}& =& k\\ & & \\ \frac{1}{B}\int \left(\frac{1}{N}+\frac{1}{B-N}\right) dN& =& \int k dt\\ & & \\ \frac{1}{B}\left(\int \frac{1}{N} dN+\int \frac{1}{B-N} dN\right)& =& \int k dt\end{array}$$

For å finne $$\int \frac{1}{B-N} dN$$ bruker vi variabelskifte (substitusjon).

$$\begin{array}{rcl}u& = & B-N\\ & & \\ du& =& -dN\\ & & \\ dN& =& -du\end{array}$$

Dette gir oss at

$$\begin{array}{rcl}& & \int \end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{1}{B-N}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & d\end{array}\begin{array}{rcl}& & N\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & -\end{array}\begin{array}{rcl}& & \int \end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{1}{u}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & d\end{array}\begin{array}{rcl}& & u\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & -\end{array}\begin{array}{rcl}& & \ln \end{array}\begin{array}{rcl}& & \left|B-N\right|\end{array}$$

Vi får da

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{B}\left(\int \frac{1}{N} dN+\int \frac{1}{B-N} dN\right)& = & \int k dt\\ & & \\ \frac{1}{B}\left(\ln \left|N\right|-\ln \left|B-N\right|\right)& =& k·t+C_1\\ & & \\ \ln N-\ln \left(B-N\right)& =& B·k·t+C_2\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}& ,\end{array}& & \end{array}N>0 \mathrm{og} B-N>0\\ & & \\ \ln \frac{N}{B-N}& =& B·k·t+C_2\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}& ,\end{array}& & \end{array}\left(C_2=B·C_1\right)\\ & & \\ e^{\ln \frac{N}{B-N}}& =& e^{B·k·t+C_2}\\ & & \\ \frac{N}{B-N}& =& e^{B·k·t+C_2}\\ & & \\ N& =& e^{B·k·t+C_2}\left(B-N\right)\\ & & \\ & =& e^{Bkt}·e^{C_2}·B-e^{Bkt}·e^{C_2}·N\\ & & \\ e^{Bkt}·C_3·N+N& =& e^{Bkt}·C_3·B \begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}& ,\end{array}& & \end{array} \left(C_3=e^{C_2}\right)\\ & & \\ N\left(C_3{e}^{Bkt}+1\right)& =& B{C}_3{e}^{Bkt}\\ & & \\ N& =& \frac{B{C}_3{e}^{Bkt}}{C_3{e}^{Bkt}+1}\\ & & \\ & =& \frac{B}{1+C{e}^{-Bkt}} \begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}& ,\end{array}& & \end{array} \left(C=\frac{1}{C_3}\right)\end{array}$$

Vi har nå funnet den generelle løsningen på differensiallikningen som beskriver en logistisk modell.

Antall bakterier i en forurenset vannbeholder er til å begynne med 5 000. Den første timen øker antall bakterier med 900. Vi antar at antall bakterier følger en logistisk vekstmodell og at bæreevnen for antall bakterier i vannbeholderen er 50 000.

Vi bruker resultatet i tekstboksen over og lar $$N$$ være bakterieantallet etter $$t$$ timer. Den første opplysningen betyr at

$$N\left(0\right)=5 000$$

Den andre opplysningen betyr at

$$N^{\text{'}}\left(0\right)\approx 900$$

Den tredje opplysningen gir videre at

$$B=50 000$$

Etter en logistisk vekstmodell er

$$N^{\text{'}}=k·N·\left(B-N\right)$$

Problemet nå er at vi ikke kjenner konstanten $$k$$. I vår bakteriekultur for $$t=0$$ gjelder at

$$\begin{array}{rcl}900& = & k·5000·\left(50 000-5000\right)\\ & & \\ k& =& 0,000 004\end{array}$$

Vekstmodellen blir nå

$$N^{\text{'}}=0,000 004·N·\left(50 000-N\right)$$

Den generelle løsningen er

$$\begin{array}{rcl}N& =& \frac{B}{1+C{e}^{-Bkt}}\\ & & \\ & = & \frac{50 000}{1+C{e}^{-50 000·0,000004t}}\\ & & \\ N& =& \frac{50 000}{1+C{e}^{-0,2t}}\end{array}$$

Det var 5000 bakterier ved tiden $$t=0$$. Det betyr at

$$\begin{array}{rcl}5000& = & \frac{50 000}{1+C{e}^{-0,2·0}}\\ & & \\ C+1& =& \frac{50 000}{5000}\\ & & \\ C& =& 10-1\\ & & \\ C& =& 9\end{array}$$

Vi får da denne logistiske vekstmodellen

$$N=\frac{50 000}{1+9e^{-0,2t}}$$

Antall bakterier etter henholdsvis 3, 24 og 48 timer er

$$\begin{array}{l}N\left(3\right)=\frac{50 000}{1+9·e^{-0,20·3}}\approx 8419 \\ \\ N\left(24\right)=\frac{50 000}{1+9·e^{-0,20·24}}\approx 46552 \\ \\ N\left(48\right)=\frac{50 000}{1+9·e^{-0,20·48}}\approx 49970\end{array}$$

Vi ser også grafisk at antall bakterier etter hvert nærmer seg bæreevnen på 50 000 bakterier i vannbeholderen.

Antall ørret i et vann har økt kraftig etter at det ble begynt med kalking av vannet i 1996. Tabellen nedenfor viser antall ørret i vannet noen år etter 1996.

For å undersøke om utviklingen i bestanden følger en logistisk vekstmodell, bruker vi logistisk regresjon i GeoGebra.

Regresjonen gjøres med vanlig framgangsmåte. Vi skriver først inn tallene i regnearkdelen i GeoGebra, markerer dem og velger Regresjonsanalyse. Så må vi passe på å velge logistisk regresjonsmodell.

Vi får resultatet

$$N\left(t\right)=\frac{27,74}{1+6,6e^{-0,39t}}$$

Vi kopierer resultatet over i grafikkfeltet. På bildet nedenfor har vi også lagt inn en linje som markerer bæreevnen til vannet.

Vi ser at modellen beskriver den faktiske utviklingen ganske bra.

Når tiden blir stor vil $$e^{-0,39t}$$ bli mindre og mindre, og antall ørret i vannet vil nærme seg bæreevnen til vannet, som etter modellen er på 27 740 ørret.