Fra fysikk og dagligliv kjenner vi begrepet akselerasjon. Akselerasjonen forteller hvor fort farten til et legeme endrer seg med tiden. Det vil si at akselerasjonen er den deriverte til farten med hensyn på tiden. Noen ganger er akselerasjonen konstant, for eksempel ved fritt fall uten luftmotstand, hvor akselerasjonen er 9,81 m/s².

Vi betegner den konstante akselerasjonen med $$a$$, farten med $$v$$ og tiden med $$t$$, og får at

$$\begin{array}{rcl}a& = & \frac{dv}{dt}=v\text{'}\\ & & \\ v\text{'}& =& a\end{array}$$

Det betyr at

$$\begin{array}{rcl}v& = & \int a dt\\ & & \\ v& =& a·t+C\end{array}$$

Vi lar farten ved tiden $$t=0$$ være $$v_0$$.

Det betyr at

$$\begin{array}{rcl}v& = & at+C\\ & & \\ C& =& v-at\\ & & \\ C& =& v_0-a·0\\ & & \\ C& =& v_0\end{array}$$

Vi får et generelt uttrykk for farten til et legeme etter tiden $$t$$, med konstant akselerasjon $$a$$ og begynnerfart $$v_0$$. Fysikere skriver vanligvis uttrykket for farten slik som nedenfor.

$$v=v_0+at$$

Farten til et legeme forteller hvor fort tilbakelagt strekning eller posisjonen endrer seg med hensyn på tiden. Tilsvarende som med akselerasjon og fart, vil farten derfor være den deriverte til tilbakelagt strekning.

Vi kaller tilbakelagt strekning for $$s$$ og får at

$$\begin{array}{rcl}v& = & \frac{ds}{dt}=s\text{'}\\ & & \\ s\text{'}& =& v\end{array}$$

Det betyr at

$$\begin{array}{rcl}s& = & \int v dt\\ & & \\ s& =& \int \left(v_0+at\right) dt\\ & & \\ s& =& v_0·t+\frac{1}{2}a·t^2+C\end{array}$$

Vi lar strekningen være null ved tiden null. Da er integrasjonskonstanten også null, og formelen for tilbakelagt strekning ved konstant akselerasjon er

$$s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$$

Vi har nå sett hvordan vi kommer fram til det vi kaller bevegelseslikningene ved konstant akselerasjon.

Disse formlene er eksempler på matematiske modeller. Selve prosessen kalles å modellere.

Vi har altså modellert praktiske situasjoner ved å omforme praktiske problemstillinger til differensiallikninger, løst dem og fått modeller som beskriver fart og tilbakelagt strekning for et legeme som starter med begynnerfarten $$v_0$$ ved tiden $$t=0$$.

Denne prosessen viser hvor nyttige differensiallikninger er. Det fins mange praktiske situasjoner hvor vi kan gjøre tilsvarende og lage matematiske modeller.