Vi har tidligere sett på forsøket «kast med to terninger».

Ved å bruke regelen om «gunstige over mulige» kan vi finne sannsynligheten for å få summen 12, det vil si sekser på begge terningene.

$$P\left(\mathrm{Sekser} \mathrm{på} \mathrm{begge} \mathrm{terningene}\right)=\frac{g}{m}=\frac{1}{36}$$

Sannsynligheten for å få en sekser når vi kaster den røde terningen er $$\frac{1}{6}$$. Sannsynligheten for å få en sekser når vi kaster den blå terningen er også $$\frac{1}{6}$$. Dette gjelder uavhengig av om det ble en sekser på rød terning eller ikke. Om vi kaster rød terning først og får en sekser, endrer ikke dette sjansene for å få en sekser på den blå terningen.

Vi sier at hendelsene «å få sekser på rød terning» og «å få sekser på blå terning» er uavhengige hendelser.

Vi så ovenfor at sannsynligheten for å få sekser i begge kastene er lik $$\frac{1}{36}$$. Denne sannsynligheten får vi også ved å multiplisere sannsynlighetene for å få sekser på hver av terningene.

$$\begin{array}{rcl}& & P\left(\mathrm{Sekser} \mathrm{på} \mathrm{rød} \mathrm{terning} \mathrm{og} \mathrm{sekser} \mathrm{på} \mathrm{blå} \mathrm{terning}\right)\\ & & \\ & = & P\left(\mathrm{Sekser} \mathrm{på} \mathrm{rød} \mathrm{terning}\right)·\left(\mathrm{Sekser} \mathrm{på} \mathrm{blå} \mathrm{terning}\right)\\ & & \\ & =& \frac{1}{6}·\frac{1}{6}=\frac{1}{36}\end{array}$$

Dette gjelder generelt, og kalles produktsetningen for uavhengige hendelser.

Hvor stor er sannsynligheten for å få 12 rette i fotballtipping når vi fyller ut én rekke på en tippekupong helt tilfeldig?

Løsning

Vi kan oppfatte dette som 12 hendelser. Hver kamp kan ende med hjemmeseier (H), uavgjort (U) eller borteseier (B). I hvert kamp er sannsynligheten for å tippe rett lik $$\frac{1}{3}$$.

Sannsynligheten for å tippe rett i hver kamp er den samme uavhengig av om vi har tippet rett eller feil i tidligere kamper.

Vi har altså 12 uavhengige hendelser.

Sannsynligheten for å tippe 12 rette er da lik $$\frac{1}{3}$$ multiplisert med seg selv 12 ganger.

$$\begin{array}{rcl}P\left(12 \mathrm{rette}\right)& = & \frac{1}{3}·\frac{1}{3}·\frac{1}{3}·\frac{1}{3}·\frac{1}{3}·\frac{1}{3}·\frac{1}{3}·\frac{1}{3}·\frac{1}{3}·\frac{1}{3}·\frac{1}{3}·\frac{1}{3}\\ & & \\ & =& {\left(\frac{1}{3}\right)}^{12}=\frac{1}{531441}\approx 0,0000019=0,00019\%\end{array}$$

Vi skal velge ut leder og nestleder til en festkomité i klasse 1A. Selvfølgelig vil alle være leder eller nestleder. For at valget skal være tilfeldig, skrives de 30 navnene på elevene i klassen på like lapper, som legges i en eske. Den første vi trekker ut, skal være leder og den andre nestleder.

Sannsynligheten for at Karoline blir leder er $$\frac{1}{30}$$. Når nestleder skal trekkes, er det 29 å velge mellom.

Sannsynligheten for at Maria blir nestleder, forutsatt at hun ikke ble leder, er da $$\frac{1}{29}$$. Dette gjelder uavhengig av hvem av de andre som ble leder.

Vi definerer hendelsen $$A$$:

$$A$$ : Karoline blir leder og Maria blir nestleder

Ifølge produktsetningen for uavhengige hendelser kan vi regne ut sannsynligheten for hendelsen $$A$$.

$$P\left(A\right)=\frac{1}{30}·\frac{1}{29}=\frac{1}{870}\approx 0,0011$$

Det er altså $$0,1 \%$$ sjanse for akkurat denne kombinasjonen.