Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter

En hendelse i en sannsynlighetsmodell består av ett eller flere utfall.

Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast av én terning»

Et eksempel på en hendelse er å få et partall antall øyne. Vi kaller dette for hendelsen $$A$$.

$$A$$: Å få et partall antall øyne ved kast av én terning

Hendelsen $$A$$ inntreffer når vi får ett av utfallene 2, 4 eller 6. Den relative frekvensen for hendelsen $$A$$ må da være summen av de relative frekvensene for utfallene 2, 4 og 6. Det betyr igjen at sannsynligheten for hendelsen A er summen av sannsynlighetene for utfallene 2, 4 og 6.

Vi har

$$P\left(A\right)=P\left(2\right)+P\left(4\right)+P\left(6\right)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Da du gjorde forsøket med å kaste 2 pengestykker, registrerte du sikkert at utfallene $$KK$$ og $$MM$$ fikk tilnærmet samme relative frekvens. Hvis du hadde registrert $$MK$$ og $$KM$$ hver for seg, ville du oppdaget at også disse utfallene hadde tilnærmet den samme relative frekvens.

Når vi kaster to tikroner, har vi altså 4 mulige utfall. Alle utfallene har lik sannsynlighet.

En hendelse kan her være å få en kron og en mynt, uansett rekkefølge. Vi kaller dette for hendelsen $$B$$.

$$B$$: Å få én kron og én mynt, uansett rekkefølge.

Sannsynligheten for $$B$$ blir

$$P\left(B\right)=P\left(\mathrm{MK}\right)+P\left(\mathrm{KM}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Vi legger altså sammen sannsynlighetene for hvert enkelt utfall som hendelsen omfatter.

Sannsynlighetsmodellen for kast av to pengestykker blir

Vi vet at samlet sannsynlighet for alle utfallene i et terningkast er lik 1. Det betyr at ved kast av en terning er

$$P\left(\AA \mathrm{få} \mathrm{et} \mathrm{partall} \mathrm{antall} \mathrm{øyne}\right)+P\left(\AA \mathrm{ikke} \mathrm{få} \mathrm{et} \mathrm{partall} \mathrm{antall} \mathrm{øyne}\right)=1$$

Det betyr at

$$P\left(\AA \mathrm{ikke} \mathrm{få} \mathrm{et} \mathrm{partall} \mathrm{antall} \mathrm{øyne}\right)=1-P\left(\AA \mathrm{få} \mathrm{et} \mathrm{partall} \mathrm{antall} \mathrm{øyne}\right)$$

Vi ga ovenfor hendelsen «Å få et partall antall øyne ved kast av en terning» navnet A.

Det gir

$$P\left(\mathrm{ikke} A\right)=1-P\left(A\right)$$

Vi innfører en egen skrivemåte for «ikke $$A$$», $$\overline{A}$$.

Det gir

$$P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$$

Denne regelen gjelder for alle hendelser.

Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast av én terning»

Vi så ovenfor på hendelsen

$$A$$: Å få et partall antall øyne

Vi har

$$P\left(A\right)=P\left(2\right)+P\left(4\right)+P\left(6\right)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Alle utfallene som hendelsen omfatter, kaller vi gunstige utfall for hendelsen. For kast med én terning er 2, 4 og 6 de tre gunstige utfallene for hendelsen $$A$$.

Vi lar $$g$$ betegne antall gunstige utfall for hendelsen $$A$$ , og $$m$$ betegne antall mulige utfall.

Dersom vi dividerer antall gunstige utfall med alle mulige utfall, får vi $$\frac{g}{m}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$. Det er det samme som vi fikk da vi beregnet sannsynligheten for $$A$$ ovenfor.

Vi kan sette opp følgende regel for sannsynligheter for hendelser i uniforme modeller

Vi fortsetter med forsøket «kast av 1 terning»

Vi definerer hendelsene

$$A$$: Å få et partall antall øyne

$$B$$ : Å få fem eller flere øyne

Vi kan illustrere med et såkalt Venndiagram.

Hendelsen $$A$$ har tre gunstige av 6 mulige utfall.

$$P\left(A\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Hendelsen B har to gunstige av 6 mulige utfall.

$$P\left(B\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

Vi definerer to nye hendelser

$$A\cup B$$ består av de utfall som er med i enten $$A$$ eller B eller i både $$A$$ og $$B$$.
$$A\cup B$$ leser vi som «$$A$$ union $$B$$»

$$A\cap B$$ består av alle utfall som er med i både $$A$$ og $$B$$.
$$A\cap B$$ leser vi som «$$A$$ snitt $$B$$»

For hendelsen $$A\cup B$$ må terningen vise et partall antall øyne eller fem eller flere øyne eller begge deler. Vi får da fire gunstige utfall, en toer, en firer, en femmer og en sekser. Se Venndiagrammet. Det betyr at

$$P\left(A\cup B\right)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

For hendelsen $$A\cap B$$ må terningen vise et partall antall øyne og samtidig fem eller flere øyne. Vi får da bare ett gunstig utfall, at terningen viser en sekser. Det betyr at

$$P(A\cap B)=\frac{1}{6}$$

Vi ser at også for sammensatte hendelser i en uniform sannsynlighetsmodell kan vi beregne sannsynligheter ved å telle opp antall gunstige og antall mulige utfall.

Vi så at sannsynligheten for én hendelse er lik summen av sannsynlighetene for de utfall som inngår i hendelsen.
Kan vi tilsvarende finne sannsynligheten for flere hendelser ved å summere sannsynligheter for enkelthendelser?

Vi undersøker om $$P\left(A\cup B\right)$$ er lik $$P\left(A\right)$$ pluss $$P\left(B\right)$$.

Vi så ovenfor at $$P\left(A\cup B\right)=\frac{4}{6}\mathrm{og} \mathrm{at} P\left(A\right)+P\left(B\right)=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$

Vi får $$\frac{1}{6}$$ for mye når vi adderer sannsynlighetene for enkelthendelsene.

Men vi så også at $$P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{6}$$.

Utfallet «å få en sekser» er med i både hendelsen $$A$$ og i hendelsen $$B$$. Sannsynligheten for dette utfallet er derfor tatt med to ganger når vi adderer sannsynlighetene for enkelthendelsene. Vi må derfor trekke fra sannsynligheten for dette utfallet én gang. Da får vi at

$$\begin{array}{l}P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\\ \frac{4}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6}\end{array}$$

Dette gjelder generelt, også for sannsynlighetsmodeller som ikke er uniforme.