Oppgave

Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller

Løs oppgavene uten hjelpemidler.

3.3.1

Tabellen viser resultatene når vi summerer antall øyne ved kast av to terninger.

+	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

a) Hva er sannsynligheten for at summen av antall øyne er 7?

vis fasit

$P (Sum øyne 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

b) Hva er sannsynligheten for at summen av antall øyne er 11?

vis fasit

$P (Sum øyne 11) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

c) Hva er sannsynligheten for at summen av antall øyne er 2?

vis fasit

$P (Sum øyne 2) = \frac{1}{36}$

d) Hva er sannsynligheten for at summen av antall øyne er 2 eller 11?

vis fasit

$P (Sum øyne 2 eller 11) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

e) Hva er sannsynligheten for at summen av antall øyne skal bli høyst 5?

vis fasit

Høyst 5 betyr at summen av øyne må bli 5 eller mindre.

$P (Høyst 5) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

f) Hva er sannsynligheten for ikke å få 12?

vis fasit

$P (Ikke summen 12) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$

3.3.2

+	1	2	3	6
1	1	2
2	2
3			9
4
5			15
6				36

Tabellen viser noen resultater når vi multipliserer antall øyne ved kast av to terninger.

a) Fyll ut resten av tabellen.

vis fasit

+	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36

b) Hvilke utfall har størst sannsynlighet?

vis fasit

Utfallene 6 og 12 har størst sannsynlighet. Disse to utfallene finner vi fire ganger i tabellen. Ingen av de andre utfallene forekommer så mange ganger.

c) Hva er sannsynligheten for at produktet skal bli 12?

vis fasit

$P (Produkt 12) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

d) Hva er sannsynligheten for at produktet skal bli 15 eller 9?

vis fasit

$P (Produkt 15 eller 9) = \frac{2 + 1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

e) Hva er sannsynligheten for at produktet skal bli minst 20? Minst 20 betyr at produktet må være 20 eller mer.

vis fasit

$P (Produkt minst 20) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$

f) Hva er sannsynligheten for at produktet ikke skal bli 1 eller 2?

vis fasit

$P (Produkt hverken 1 eller 2) = 1 - \frac{3}{36} = \frac{33}{36} = \frac{11}{12}$

3.3.3

Tabellen nedenfor viser sannsynlighetsfordeling ved kast av en terning.

Antall øyne	1	2	3	4	5	6
Sannsynlighet	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

Vi definerer hendelsene:

$A$ : Å få et partall antall øyne

$B$ : Å få odde antall øyne

$C$ : Antall øyne er 3 eller flere

$D$ : Antall øyne er minst 3

$E$ : Antall øyne er høyst 3

$F$ : Antall øyne er 3 eller mindre

a) Finn sannsynligheten for hendelsene $A$ til $F$ .

vis fasit

$P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} P (B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} P (C) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} P (D) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} P (E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} P (F) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

b) Finn sannsynligheten for $A$ eller $B$ .

vis fasit

Alle partallene + alle oddetallene blir alle utfallene på terningen.

Her kan vi legge sammen sannsynlighetene.

$P (A eller B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

c) Finn sannsynligheten for $A$ eller $D$ .

vis fasit

$A$ eller $D$ blir alle partallene + oddetallene fra 3 og oppover. I alt 5 av utfallene på terningen.

Her kan vi ikke legge sammen $P (A) og P (D)$ , da begge disse to hendelsene inneholder utfallene 4 og 6.

Husk addisjonssetningen som sier at vi kan finne sannsynligheten for en hendelse ved å summere sannsynlighetene for de utfallene som inngår i hendelsen.

$P (A eller D) = \frac{5}{6}$

d) Finn sannsynligheten for $B$ eller $D$ .

vis fasit

$B$ eller $D$ blir alle oddetallene + partallene over 3. I alt 5 av utfallene på terningen.

Her kan vi ikke legge sammen $P (B) og P (D)$ da begge disse to hendelsene inneholder utfallene 3 og 5.

$P (B eller D) = \frac{5}{6}$

e) Finn sannsynligheten for $D$ eller $E$ .

vis fasit

$D$ eller $E$ blir alle utfallene på terningen.

Her kan vi ikke legge sammen $P (D) og P (E)$ da begge disse to hendelsene inneholder utfallet 3.

$P (D eller E) = \frac{6}{6} = 1$

3.3.4

Idrettsklubben «KomiForm» har 50 medlemmer. 20 av medlemmene driver med svømming, 15 av medlemmene spiller golf. 10 av medlemmene driver med både svømming og golf.

a) Systematiser opplysningene i en krysstabell.

vis fasit

Utfallsrom	Svømming	Ikke svømming	Sum
Golf	10	5	15
Ikke golf	10	25	35
Sum	20	30	50

b) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem spiller golf.

vis fasit

Sannsynligheten for at et medlem spiller golf er $\frac{15}{50} = \frac{3}{10} = 0, 30$ .

c) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem spiller både golf og driver med svømming.

vis fasit

Det er 10 medlemmer som driver med både svømming og golf og sannsynligheten blir $\frac{10}{50} = \frac{1}{5} = 0, 20$ .

d) Hva er sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem deltar i golf eller svømming?

vis fasit

Det er 25 medlemmer som enten deltar i golf eller svømming eller begge deler.

Sannsynligheten blir da $\frac{25}{50} = 0, 50$ .

3.3.5

På en videregående skole er det 120 elever i andre klasse. En dag har 60 elever hatt matematikk og 45 engelsk, mens 35 elever ikke har hatt noen av fagene.

a) Lag en krysstabell for å illustrere dette.

vis fasit

Utfallsrom	Matematikk	Ikke matematikk	Sum
Engelsk	20	25	45
Ikke engelsk	40	35	75
Sum	60	60	120

b) Hva er sannsynligheten for at en elev har begge fagene denne dagen?

vis fasit

Sannsynligheten for at elev har begge fagene blir $\frac{20}{120} = \frac{1}{6}$ .

c) Hva er sannsynligheten for at en elev har akkurat ett av fagene?

vis fasit

Sannsynligheten for at elev har nøyaktig ett av fagene blir

$\frac{40 + 25}{120} = \frac{65}{120} = \frac{13}{24}$

d) Hva er sannsynligheten for at en elev har minst ett av fagene? (Husk: Minst ett av fagene betyr enten ett av fagene eller begge fagene.)

vis fasit

Sannsynligheten for at elev har minst ett av fagene blir

$\frac{40 + 20 + 25}{120} = \frac{85}{120} = \frac{17}{24}$

e) Hva er sannsynligheten for at en elev har høyst ett av fagene? (Husk: Høyst ett av fagene omfatter også de elevene som ikke har noen av fagene.)

vis fasit

Sannsynligheten for at elev har høyst ett av fagene blir

$\frac{35 + 40 + 25}{120} = \frac{100}{120} = \frac{5}{6}$

3.3.6

Ved en skole ble alle mopedene tatt inn til en teknisk kontroll. Kontrollen viste at 30 % av mopedene gikk for fort, og at 15 % av mopedene hadde feil ved bremsene. 60 % av mopedene gikk verken for fort eller hadde noen feil ved bremsene.

a) Lag en krysstabell for å illustrere dette.

vis fasit

Utfallsrom	Går for fort	Går ikke for fort	Sum
Bremsefeil	5 %	10 %	15 %
Ikke bremsefeil	25 %	60 %	85 %
Sum	30 %	70 %	100 %

b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt moped blant de som ble kontrollert både gikk for fort og hadde feil ved bremsene.

vis fasit

Av krysstabellen ser vi at 5 % av mopedene både gikk for fort og hadde feil med bremsene.

c) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt moped blant de som ble kontrollert gikk for fort, men hadde bremsene i orden.

vis fasit

Av krysstabellen ser vi at 25 % av mopedene gikk for fort, men hadde bremsene i orden.

3.3.7

Ved en bedrift som produserer sykler er sannsynligheten 0,020 for at en tilfeldig valgt sykkel har en feil av type A. Sannsynligheten for at sykkelen også har en feil av type B, er 0,015. Sannsynligheten for at sykkelen har minst én av feilene, er 0,030.

a) Lag en krysstabell for å illustrere dette.

vis fasit

Utfallsrom	Feil type A	Ikke feil type A	Sum
Feil type B	0,015	0,010	0,025
Ikke feil type B	0,005	0,970	0,975
Sum	0,020	0,980	1

Vi trekker tilfeldig en sykkel fra bedriften.

b) Hva er sannsynligheten for at sykkelen har begge feilene?

vis fasit

Sannsynligheten for at en sykkel har begge feilene er 0,015 altså 1,5 %.

c) Hva er sannsynligheten for at sykkelen høyst har én av feilene?

vis fasit

Sannsynligheten for at sykkelen har høyst én av feilene blir

$1 - 0, 015 = 0, 985$

Sist faglig oppdatert 20.11.2018

Skrevet av Stein Aanensen og Olav Kristensen

Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller

3.3.1

3.3.2

3.3.3

3.3.4

3.3.5

3.3.6

3.3.7

Læringsressurser

Læringssti

Fagstoff

Oppgaver og aktiviteter

Andre NDLA-nettsteder

+	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36

+	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36

+	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36